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I

REALISATION ET USAGE

FORMES IMAGINAIRES

EN GEOMETRIE.

Fiitrait des Nouvelles Annales de Moc/ié/nacir/iws, t. IX et X. (1890-01 ).

RIvVLISATION KT USAfiK

FORMES IMAGINAIRES

EiN GÉOMÉTRIE.

CONFERENCES DONNEES AL' COLLEGE STANISLAS, A SAINTE-BARBE,

A l'École sainte-geneviève et a l'école monge,

M. Maximilien marie,

ItÉPÈTITElR 1>E MÉCAMQIE, ANCIEN E\A\IIN\TEIR Ii'aDMISSION A l'ÉCOLE POLVTECHMUIK.

PARIS,

GAUTHIER- VILLARS ET FILS. I.MPRI.MEURS-LIBKAIRES

DU BUBEAL DES LONGITUDES, DE l' ECO LE POLYTECHNIQUE, Quai des Giands-Aususlins, 5.^.

I89I

(Tous droits rcjcrvés. )

REALISATION ET LSAGE

FORMES IMVGIXAIRES

EN GEOMETRIE.

GÉOMÉTRIE PLANE.

GENERALITES.

1. Est-il possible de fait e représenter un point du plan des axes par une solution

.r = a -i- ^ V — 1 ^ y = 2' -T- p' V — 1

d' une équation

f{x,y)= o,

sous la condition que le point représentatif de cette solution, dont les coordonnées j:, et y, seraient des fonctions dey., ^3, a', |^', conserve une position invariable dans le plan, quelque transjorniation que Ion fasse subir aux axes et, par suite, à la solution considérée?

Et d abord, si x^ doit èti^e fourni par la formule

.r,= o(a. 3.'/, fj;.

il faudra cjue t'j le soit par

( 2 )

sans quoi l'échange Jes deux axes des ,r et des y ne lais- serait pas le point (./'i, y\) à la même place. Supposons donc cpie les formules

.r,= '^(a, p, a\ p') cl jj = o(a', S', a. p)

remplissent la condition exigée.

Si l'on transporte l'origine sur l'axe des x à une dis- lance a de l'ancienne, les formules de transforniation seront

de soite que la solution

.r = a + p / — I . y=7.'-+- [j' y' — i deviendra

x' = a — a-\- [j \/ - I , y' = a + ^' / — i ; le point (.r'i , y\ ) deviendrait donc

.r\ = o(a-r/, [i, a', [i'), y\ = o(a', [i'. a-«, [i ) ;

pour qu'il ait conseivé la même situation, il faudra cpie ses coordonnées ?",. V, soient liées à .r, , y, par les for- mules de transformation, c'est-à-dire que l'on ail

o (7— a. {i. a'. [i')= o(a, [i, a', p' ) — r/ et

(juels que soient a, [j, a', [j' et «.

Ces conditions exigent évidemment, d'aLord, que a n'entre pas dans la fonction es relative à y, ni, par conséquent, a' dans la fonction es relative à .r, 5 en se- cond lieu, que la fonction ep relative à r, ne conlienne 7. qu'au premier degré, sans coefficient, et de même, que la fonction es relative à r, ne contienne a' qu'au premier degré, sans coeflîcient.

Ainsi la transformation considérée conduit à conclure

(3)

(|Ut; X| cl )'( doivc'iiL iHîspcclivemcnL allecLcr les formes

Considérons maintenant la transformation dans la- (juelle Taxe des y aurait simplement tourne autour de l'origine, de; manière à faire avec l'axe des a:, resté fixe, l'angle supplémentaire de celui qu'il faisait auparavant.

L(\s formules de transformation seront

v' = y cl ,r' = j? -f- 2 cos 0 y ;

la solution .r = a -4- 3 ^' — i , )- ;i= a'-f- ■^' y/ — i devien- dra donc

y =z a' -H ,3' y/— I .

.r' = a -f- ^ V^ — I -1- 2co«0( a'-i- _3' / — i ).

Le point représentatif de la solution transformée se- rait donc

.r\ = a -I- 2 a' cos 0 -;- •ii(P -^ 2^' cosO. Jî') y, = a'^-'^(p'. ^-^a^'cosB);

mais, pour que le point représenté soit resté le même, il faudra que ses coordonnées a', . j', et Xi,j, soient liées par les formules de transformation, c'est-à-dire que

r\ = )'i l't .r'j = .ri -+- y.Vi cosO

ou que et

a'-^-'i-f^S', ^-h 2^'cosO)= a'— 6(^', ^) Z -f- 2 0t' COS 6 -}- 6 ( [3 -I- 2 p' co?6, P')

= 2 — -l-fS, S'^-f-^cosOfa'^ irS'. 3)].

La première condition montre que la fonction ■!/ rela- tive à j>'i ne doit pas contenir [i et, par suite, que la fonction 6 relative à x, ne doit pas non plus contenir |j'.

En conséquence, il faudra réduire Xi et 7 , à

( 4 )

ÎMais alors la condilioii

./■', = .rj -\- iyi cosO se réduil à

a-+- -iz'cosO -H'i(^-+-2p'cosO) = a -h '^{ P )-i- •2co?0[a'-f- 'J^([i'}| ou

•;/( 3 + 23' cosO)= 'L( 3 )-+- 2rosO'^([:i'),

ce qui exige que 'Ij soit du preiniei* degré et sans con- stante.

En résumé, on est amené à faire obligatoirement

,ri=a-^/r3, j'i = a'n- A- 3'.

Il est, du reste, facile d(î vérifier que, dans ces condi- tions, le point repiésentatif d'une solution

a" = a -h !3 y/ — i . J' = '^' + ?' V — i

restera toujours le même, quelque transformation des coordonnées qui intervienne.

En elïel, si les formules de transfoi'mation sont

:r' = a -f- i» x -^ ny, y' =^ b -^ px -+- qy,

la solution transformée de

X = a H- (3 \/^.

y = .j_' ^ O' ^/ZT,

sera

a?' = rt -i- /H a -)- ny.' -\-{ m '^ -\- ii'^') \l — i ,

les points représentatifs de ces deux solutions seront

donc

.r 1 = a -1- k [j , ^, = x' + k ,3'

et

x'^ = a -i- ni X -r- n y.' -r- k ( ni p -}- « ^' ) = a -i- //? .r i -h nyi , y'^ = b -h py. -h q'x'~ k( p'^ -^ q^fi')= b -^ />xi -h qyi]

( 5) les coordonnées anciennes et nouvelles de ces deux points seront donc liées entre elles par les formules de transformation : les deux points coïncideront donc.

Il n'y aurait aucun a\antage à donner à A une \alcur didërente de i; nous ferons donc toujours

■2-1 = 2 -7- p, j-, = a'-t- ,3'.

2. Les solutions imaginaires jr = a -|- 3 y/^ — -i, Y :=rz y! -\- '^p' \i — I d'une équation à deux variables f(^x,y)=^o présentent niu' double indétermination, c'est-à-dire que les quatre variables a, [îi, a', fJ ne sont liées entre ell(;s que par deux conditions, celles dans lesquelles se décompose

Il en résulte que les points {.x^,j^) représentatifs de toutes les solutions imaginaires d'une équationyfo",^ )=o formeront platjue sur le tablean.

Sur la surface recouverte par ces points {X),j', ), on pourra tracer une infinité de courbes : l'une d'elles sera définie par une équation complémentaire

ç.('/, 3, a', 3')=o.

La théorie donnera les moyens de les étudier toutes, mais la classe de celles dont les points correspondraient à des solutions qui pussent être rendues réelles, en même temps, par rapport à l'une des variables, x par exemple, par une transformation convenable des coor- données, présentera un intérêt tout particulier, parce que ces courbes auront des rapports beaucoup plus in- times que toutes les autres avec la courbe réelle repré- sentée par la même équation f{x. i )= o; en eflel, dans un svstème convenable de coordonnées, les ordonnées de lune de ces courbes et de la courbe réelle seiont

respecti\eiiient représentées par deux fondions con- jointes de l'abscisse commune

et

analogie algébrique d'où résulteront une infinité d'ana- logies géométriques, qui permettront d'instituer une Géométrie comparée.

Les lieux courbes contenus dans le lieu ])\a.nf(x^y) = o qui sont définis par la condition précédente sont dési- gnés sous le nom de conjuguées du lieu réel f(x,j)^=o.

Cliercbons la condition complémentaire qu'il faudra joindre à l'équation y(.r, j)') = o pour définir une des conjuguées de ce lieu, c'est-à-dire cliercbons le caractère commun de toutes les solutions imaginaires de l'équa- tion d'un lieu, qui pourraient devenir en même temps réelles par rapport à 1 abscisse, à la suite tl'une trans- formation convenable de coordonnées.

Soient

y siii(f) — a )-^ k' siri(0 — y.' ) X = ^

MIlO

et

x' sin 'x-^ y' s'\n a' ^ ~ sJrTfJ

les formules d une transformation: on en tire

[x sin x' — y sin(f) — x')] sin 0

= .r'[sin a' sin(0 — oc) — «in a sin (0 — a')].

Si donc on veut que les .i' soient réels, il faudra que .i et j' soient tels que

.c sin a — y sin^ 0 — y. >

( 7 ) _ soit réel, c'i'st-à-dire,si x^^a-f-[j v — « L'tj=a'-f-jj'Y^ — i

que

P «in:z' — ^' sin(0 — ■z')^ o ou que

3' sina'

P sin(0 — a')

condition indépendante, comme on le voit, de l'é([ua- tion du lieu considéré.

Ainsi, l'on pourra rendre en même temps réelles, par rapport à l'abscisse nouvelle, les solutions de toutes les

équations à deux variables où 7— aurait une même

valeur C.

S' La constante C= ^ qui définit une conjuguée d'un

lieu/(x, j")= o est ce que nous nommerons la c^/ac- téristique de cette conjuguée.

On voit que cette caractéristique

C =

in((J — a')

est le^coefficient angulaire de la direction qu'il faudrait donner au nouvel axe des y pour rendre en même temps réelles les abscisses nouvelles de tous les points de la conjuguée.

Ainsi l'équation de la conjuguée C d'un lieu

résulterait de l'élimination de a, [i, a' et fJ entre les équations

et

Xi= a H- 3, ji = a' 4- 3'; mais on ne se servira jamais de celte équation dune con-

( fi)

juguée en coordonnées réelles. Cette équation serait de degré /// {m — i) ou de degré m- suivant que l'équation y(x, i')^o, de degré 7?/, aurait tous ses coefficients réels ou en aurait d'imaginaires ; mais la conjuguée elle-même sera bien plus facile à étudier dans l'équationy (a', j):=o, (|ui la représente en coordonnées imaginaires, que dans celle qui la représenterait en coordonnées réelles.

Les conjuguées d'un lieu de degié m présentent, en elîet, comme on le verra, tant au point de vue algébrique qu'au poiut de vue géométrique, tous les caractères des courbes de degré m.

Nous démontrerons d'ailleurs, et c'est, en définitive, le but que nous nous proposons, que toute question quel- conque, résolue déjà pour le lieu ré<Af[x, j ) ^ o, Test par cela même, au moyen des mêmes formules, pour une quelconque de ses conjuguées, moyennant une in- terprétation toujours très simple.

Cordes réelles d'une co/i juguée. — Une équation y = G,r-|-^/, dans laquelle ^/ peut prendre toutes les valeurs réelles, n est capable que de solutions du sys- tème C; eu etfet, si Ton y fait j- = a -f- [j ^ — i et y :-_- a'+ [î'y — i , il vient

On voit donc qu on pouriait directement construire la conjuguée C d'un lieu /(.r, }) = o, en recliercliant loutes les solutions communes à l'équation ^^(x, 7 ) = o et à l'équation j' = Cx -f- c/, dans laquelle on lerait va- rier d de — X à -h ce ; au reste le point .r, rrr a -j- [i, ^)-, = 7/ H- ^', qui repiéscnterait une de ces solutions, appartiendrait à la sécante considérée 7 ^rrC^j- 4- ^/, car les deux é((ualions précédentes donnent

( 9) 3. Conjuguées des con'ujues. — Soil C i^fig- ') niie clli]).se <|UL'lcoiu|U(' , t lunclioris la conjuguée de celle

Fiij. I.

ellipse dont les cordes réelles sont parallèles à la dioite JXrS': pour cela rapportons la courbe au diamètre [)aral- ièle à ÎNjN', pris pour axe des ^ , et à son lonjugué, pris pour axe des x\ l'équaliou de Fellipse prendra la (orme

,r- r-

si l'on donne à x des valeurs non comprises entre — a et -T- (i ■. 1 ordonnée du lieu sera imaginaire et repi'é- sentée par

y

b'

— , \/x''- — a- \J — I ,

les coordonnées idéalisées du point correspondant seront

h'

Xi^ X et j'i = — ^ y/xf — a -; elles seront donc liées entre elles parla relation

11

ir-

( lo ) la conjuguée lieu de ces points sera donc l'iiyperbole SAS'TA'T' ayant pour diamètre Jion iransverse le dia- mètre de l'ellipse parallèle aux cordes réelles de cette même conjuguée, et pour diamètre transverse le dia- mètre conjugué du premier.

Ainsi les conjuguées d'une ellipse sont toutes les hy- perboles qui ont avec elle un système de diamètres con- jugués commun; elles recouvrent tout le plan, sauf l'in- térieur de l'ellipse, et cette ellipse est l'enveloppe de ses conjuguées. jNous savions déjà qu'il en est de même de toutes les courbes : une courbe quelconque est l'enve- loppe de ses conjuguées, ou d'une partie de ses conju- guées.

Considérons maintenant une hyperbole {Jig- '^) '■ 1<35

Vis. 2.

paiallèles à un rayon compris dans les angles des diaix asymptotes qui comprennent eux-mêmes la courbe réelle rencontreraient toutes cette courbe en deux points réels; ainsi les cordes réelles des conjuguées d'une hy- perbole sont parallèles aux diamètres non transverses de cette courbe; en d'autres termes, quels que soient les axes auxquels une hyperbole soit rapportée, la caractéris-

( '■ )

Li(juc C = ^ d'une conjuguée ne peut varier qu'entre

r

les valeurs extrêmes des coeiricients angulaires des dia- mètres non transverses de la courbe. C'est un fait gé- néral en ce sens que, si une courbe de degré m est tou- jours coupée en m points réels par toutes les droites parallèles aux rayons d'un secteur, la courbe n'a pas de conjuguée dont la caractéristique soit comprise entre les coeliicients angulaires des rayons extrêmes de ce secteur, et ces rayous extrêmes ont généralement des directions asymptotiques, parce que, généralement, on peut mener à la courbe plus de tangentes inclinées à une asymptote, dans un sens, qu'on n'en [)eut mener qui soient inclinées dans le sens contraire. Au reste, cela ne veut pas dire qu'une courbe n'ait jamais de conjuguées dont les cordes réelles aient des directions parallèlement auxquelles on ne pourrait pas lui mener de tangentes.

Supposons que nous voulions connaître la conjuguée; de l'hyperbole SAS'TA'T', dont les cordes réelles se- raient parallèles à une droite ]\N' parallèle ta un diamètre BB' non transverse de celte hyperbole ; prenons pour axe des r <'<^ diamètre BB' et son conjugué AA' pour axe des X, l'équation de l'hyperbole prendra la forme

y

a - b -

et si l'on donne à x des valeurs comprises entre — a' et 4- (t! ^ Y sera imaginaire et représenté par

b' — T, /—

y=-' v« — ^-v — i, -

les coordonnées réalisées du point correspondant seront

y\ = — s'a--

elles sc'ioiiL doue liées eiilie elles par la relalion

.rf y\

a- b-

la conjuguée lieu de ces points sera donc l'ellipse 13 A HA', avant poui" diamètres les deux diamètres de l'iiy- perbole considérée, cjui seraient parallèles, l'un aux cordes réelles de la conjuguée, et l'autre au diamètie conjugué du j)reniier.

Ainsi, les conjuguées d'une liyperboie sont toutes les ellipses qui ont avec elle un système de diamètres con- jugués commun. Elles ont deux envelo|)pes, l'une réelle, c'estl'livperbole proposée, l'autie imaginaire, f|ui est riiypcrbole de mêmes axes, mais cbangés de léel en imaginaire, et réciprocpiement. (>ette seconde enveloppe est ordinairement désignée sous le nom (\ hyperbole conjuguée de la pieuiière; mais nous l'appellerons YÀulùt supplément aire de la. proposée, parce que, lorsque les conjuguées d'une courbe ont deux enveloppes, l'en- veloppe imaginaire présente toujours tous les caractères d'une véritable supplémentaire de la courbe elle-même ou de l'enveloppe réelle.

Les deux enveloppes ont ici les mêmes asymptotes, c'est un fait qui sera généralisé.

Les conjuguées d'une liyperbole recouvrent toute la portion du plan comprise entre cette hyperbole et sa supplémentaire, et aucune ne peut pénétrer dans l'in- térieur de la concavité de Fune ou de l'autre des deux hyperboles.

Les points de l'enveloppe imaginaire, ou de l'byper- bole sup[)lémentaire, seraient fournis par les solutions imaginaires sans parties réelles deré(]uation de l'hyper- bole proposée, rapportée à deux de ses tliamètres conju- gués quelconques a et /».

( '•^> )

l'jii L'IlcL, si dans 1 ^(juaLinii

x^ y- a- h-

\ — ()

on fait

il vienl

= 8v/— I '•! y--%'\l—\,

^ -^--1 = 0- a- b-

les coordoiiiiécs réalistes du point correspondant sont

■^1 — i^J ./ 1 — i' 1

»;t elles sont liées ])ar l'éqnation

-4 'tT -+- t = '1'

a- b-

tiui leprésente J)ien 1 liypt'rhole su[)plénieiitaiie.

Le coefficient aneiilaire -^ du lieu — - — v-- — i = o,

^ cil «- b-

en un point de l'enveloppe imaginaire, se réduit ici à

<:/3'

-7'- et est, i)ar consé(iuent, rc'cl. Nous verrons Lientôt

(jue c'est 1(! earaetère général de l'enveloppe imaginaire des conjuguées d un lieu queleoncpie.

Lorsque la earactéristi(jne d'une conjuguée d'une hy- perbole tend vers le coellicient angulaire d'une des asymptotes, la conjuguée correspondante s'aplatit indé- finiment et, à la limite, se confond avec l'asyujptote elle- même, qu'elle rcx'ouvre deux fois. JNous verrons plus tard que le fait est général et même que les conjuguées d'une eourbi- de degré quelcontjue tendent, dans une de leurs parties, à devenir des ellipses, lorsque leur caractéristique tend vers le coefficient angulaire d'une asymptote réelle.

On verrait, comme précédemment, que les conjuguées d'une parabole sont des paraboles égales à la jjroposée

[ '4 ) cl opposées à elle par un diamètre commun et une tan- gente commune.

Les conjuguées d'une ellipse imaginaire

£1 i z! — _

sont toutes les hyperboles qui ont avec l'ellipse réelle correspondante

un système de diamètres conjugués commun. Seulement, c'est alors le diamètre iransverse de la conjuguée qui est parallèle à ses cordes réelles.

L'envelop[)e imaginaire de ces conjuguées est l'el- lipse

-ô + 7T = ' •

Elle est fournie par les solutions imaginaires, sans par- ties réelles, de l'équation du lieu lui-même,

:^ -+- ^ = - r a- b-

c'est-à-dir(; par les solutions de la torme

a? = p ^'~^, y = p' \J'^.

réalisées par

Va\ un quelconque des points de cette enveloppe imagi- naire, le coefficient angulaire --- du lieu est réel.

'^ dx

Les conjuguées de l'ellipse évanouissante

x- y-

— -t- 7-7 = o a- h'

sont naturellement réduit(;s à leurs asymptotes, c'est- à-dire sont des droites. Les conjuguées dont les cordes

/(X.	Y) = «
dy __ dx	f'x{^,y) fA^-y)

( i-J )

lécllcs sont paiallèlcs à um.' droite donnée sont les dia- gonales du parallélogramme conslruiL sur- les deux dia- mètres eonjugués d une ellipse lioiuothétique à l'ellipse évanouissante, dont l'un serait par.dlele aux eordes réelles de cette conjuguée.

I. Des éléments d'un lieu en un de ses points et de l' enveloppe iniaqinaire des conjuguées du lieu. —

Le coetiicient dillérentiel -j- en un point x, j d'un lieu

est

ce rapport n'a qu'une valeur, quel que soit d.r, c'est- à-dire que si 1 on donne à .r l'aerroissement

dx = d'x -\- di \i — 1 ,

l'accroissement correspondant de }',

dy = dy! -i- c?3' \ — I .

sera toujours lié à l'accroissement de x par la même relation

d-j! ^ d?,' ^'=^1 = - '^f.^'''^'^ {doi ^ f/3 v':^ j .

quels que soient r/a et r/|j l'un par rapport à 1 autre.

Soit m H- n y — i la valeur du coellicient dilTérentiel ~ au point x,j, les accroissements correspondants de .r et de y seront donc liés l'un <à 1 autre par la relation

d-x'— d'^'\'^ = {m -f- n v''— i){doi. 4- d'i\/^j

( •(> )

qui se déconipose vu deux

c/a' = m d'x — /i cl'i. et

cl?; = incV^ — nda..

Soient, suivant uotie notation liabituelie, .r, el )', les coordounées du point représentatif de la solution, x^y ^ l'i + d.v^ et > ( -h d) ^ relies d'un point infiniment voi- sin, de sorte que

(Ir^ = fl'j. -^ d'i el dvi = r/a'-+- d'^' \

les deux équations pn-cédentes donnent

dvi _ di! — <r/3' _ ( m ^v- n) d-j. -h ( m — « ) d'i d.r^ dy. -^ f/|3 </a -^ r/3

ou

, »i + /? -r- ( ni — 'O -r^

dvi dT.

'dx^ ~ (73 '

'-^ .Ta

dv

; - pourra donc lîiendre liahiluellement une infinité de a. ri » ^

valeurs, (pii dépendront de -y- ; e'est-à-dire (pi'autour

du point Xi, j'i, qui eorresj^ond à la solution x, y de réipiationy(X, Y) = o, le lieu en présentera générale- ment une iniinilé d'autres, placés dans toutes les direc- tions, ce qui est tout naturel, puisque ce lieu constitue une surface. T. es lignes droites qui joindraient le point [.r,, ) ,] aux points [x, -h ^/.r,, y, -h d) j] constituent les éléments du lieu au point [j?i, 7 i ]•

Pour que tous ces éléments se conlondissent géomé-

triciuement, il faudrait que -;— fût indépendant de ~- ^

' ' ' d.i\ ^ dy.

ce qui exigerait (pu;

ou que // ^=

( '7 )

... . 1, 1. . dy . , ,

Ainsi, aux poiiils d un lieu ou -4- est réel, tous les

éléments (leceli(îu s(! confondent, c'est-à-dire (|iu; toutes les courbes, lieux de points [•'<" i , J) i ] i qui y passent, s'y louchent.

C'est là la proj)riétc caraetéfisticjue de la limite, réelle ou imai^inaire, de la[)Oition du [)lan recouverte par tous les points imaginaires réalisés d'un lieu f)uelcon(|ue ; les deux enveloppes réelle et imaginaire des conjuguées d'un lieu quelcoïKpuî seront donc fournies simultané- ment par la condition commune :

dv , ,

-^ = réel. <lx

Nous allons donner deux exemples d'une telle re- cherche. Soit d'abord le lieu

r3_

a- X

y — n'y dv a"'

(Ix oy- — a^

j)Our que -j- soit réel, il faut que y soit de la lorme

^' y/ — i; alors x sera de la lorme [5i y'^ — i. D'ailleurs, ces valeurs de x et j> devant satisfaire à l'équation du lieu, on aura

— [i'-i— -•/•■i^'+ r/,2[i = o ;

l'équation de l'enveloppe imaginaire des conpiguées du

lieu est donc

y% + a^y — a-x =^ o.

La courbe réelle, ou l'enveloppe réelle des conjuguées du lieu, est S AO A'S' (//^'^. 3), et l'enveloppe imaginaire est Si OS', . Ces deux enveloppes se touchent à l'origine, (jui est pour elles deux un point d'inllexion, et elles sont réciproques.

Nous verrous plus tard (pi'il en est toujours ainsi : M. -

jm -^ ..ir* ."mi ms ;*» iîmè j» iu^--^^'- ^ ^^ Iteî JKÏ «i J«^

^j|r~ .Jr^ .Ir~ .'**" '«^ :«,^

'■^ï ^^^^ J^ ^ •'*^ •*5» 'i«) .un

;,, ï#;\.... .*?

lu?^P*:

( ^^ )

es deux enveloppes sont tou|Ours iéei piotjnes l'une de l'autre, c'est-à-diie que eliaeune d'elles est l'enveloppe

J«9 iaâ mt

■«> .-W 'pi 0à

imaginaire des conjuguées de l'autre, et les deux courbes oui les nièniiîs points d'inflexion, où d'ailleurs elles se tournent leurs convexités.

Considérons, comme second exemple, le lieu repré- senté par l'équation

(,r — a — b y/— i)'^- {y — n' — h' \J — i )' = (r ^ r' \J ^ i)",

qui se présentera de lui-même dans la théorie des cour- bures et auquel nous donnons le nom de cercle imagi- naire.

Soient a; = a -h [^ v' — i i^t J = a' + [j' \j — i les coor- données imaginaires d'un point du lieu, a, [3, a' et ^i' satisferont aux deux conditions

(i) (a_a)2_(8_6)2^_(a'— a')2 — (^3'— ^/)2^ r'^—r''-

et

(a) (a — a) ( p. — 6 ) -^ ( a' - a) ( !3'— // ) = rr' ;

le coefficient dilîérentiel -^ aura pour valeur en ce point ,

X — a — b J — I a— a^-(3 — 6) <J — i

dx

y

b'sT^

a'— a'-i-(,3'— ^>')v/— I

' 1v. ».

( «9) et, pour fiu'il soil réel, il laudia cjul-

(3)

J^'é(|uaLioii (3) donne

a — a ^ — b

o! —a ~' p'— b''

P-6=:;^^,(P'-6'j:

en substituanL dans les deux aulies, il vicul

( a — « )■-

(a — «)- (i bis) < (a — a

~{'^-l^Y

ou

(i ter)

et

( 2 bis ) OU

( 2 1er)

(a — «j--f- (a — a')'-

— ( i — b )- ; r- = /•- — /• -

(^ — *■' )" , , , "I ^, ,

) = /•/•

éliminant maintenant |j' — Z/, il vient

(4) (a — rt)2_(x'_a')2-

(2 — « )2 -^ (a — a' )-

c'est-à-dire

I [(cc-ay^^icc'-a'r-y-

I — (/•2— /•'2)[(a — «)2 — (a'— a')2]— /-S/''^

équation qui donne

/ (a- — a)2-i-(a' — a')-

iqter) j ;.2_,.'2± ^/(^2_,.'■2)2_^^,.2,.'2

= / - ou — /•

r*^^-^^^^^-^*sa^i^S

( I« )

les deux enveloppes sont Ion jours réeiptoques l'une de l'autie, c'esl-à-diie que chacune d'elles est l'enveloppe

imaginaire des conjuguées de l'autre, et les deux courbes ont les mêmes points d'inflexion, où d'ailleurs elles se tournent leurs convexités.

Considérons, comme second exemple, le lieu repré- senté par l'équation

{x — a — b yj — i)- ^ {y ~ a ~ b' /— i)" = ( /• ^ ,•' /_ i)-,

qui se présentera de lui-même dans la théorie des cour- bures et auquel nous donnons le nom de cercle imagi- naire.

Soient X = a H- [^ y — i et j = a' -f- (j'y — i les coor- donjiées imaginaires d'un [)oint du lieu, a, j3, a' et [i>' satisferont aux deux conditions

(i) (a _ nr--( p — 6)2 -^ (a'- a,')2_ f «'_ /y)2^ r2 _ ;.'2

et

(2) (« — «)( ^ — 6) -4- (a— a')(j3'— //) = /■/•';

le coefficient dilïërentiel

rlr

poml dx

X — a — b )/-

y

6V~

-7- aura pour valeur en ce

_ a— a-i-(P — h) /— I a'— a'-i-(.3'— 6')v/-^

( «9)

et, puiir ([uil soil réel, il laudra que

(3)

J/é(|uatiou (3) donne

^-b= -, — ^,(?'-6'); ' a — a

eu substiliianl dans les deux autres, il vient

il bis) ' ' (a'-a')-^^' ^

( —('x'—a')- — ('i'—b')-=r-—r-

( -(3-6';^

{cc'—a'f

et

ou

) = /•/■

rr' (a — n' )

(a — «j^^(a'— a')-' éliminant maintenant [j' — //, il vient

(4) (a — aj2-(a'-a')-^ —

(a — af^^ {ol' — a' )'-

c'est-à-dire

,, , . , [(=t — a)2^(a'— «')2]2 ( 4 bis )

— ( /•■- — /•'-) [(a — a)--T- (a' — a')'-] — r'-r- = o, équation qui donne

/ (a- — a)--!- (a' — a')-

(4 ter)

■■- — r''-± {/{r- — /■' ■-)■- -t- 4 r- r'-

= /■- ou — r'-

mais (a — «)--[- (a' — a')- ne saurait être négatif; par conséquent, en déiînitive, la solution est

(4 q lia ter) (y. — «)2-;- (a' — a')-= r-,

c'est-à-dire que a et a' sont les coordonnées d'un point de la circonférence

(5) {x~ay^^(y — a')-^=rK L'é(]uation (i) donne, par suite,

(6) (3_z,y2-i-(;3'-^>')-^=7-'2,

et, par conséquent, [ii et [j' sont les coordonnées d'un point du cercle

(x — bj^-i-ir — fyy-^ r'-^; mais l'équation (3)

a — a _ 3 — ^^

a' — a' " p'— //

montre que les rayons des deux circonférences (5) et (6), qui contiendront respectivement les points (a, a') et (^, [j) seront parallèles.

11 en résulte que l'enveloppe imaginaire du lieu pro- posé est la circonlérence du cercle

( r — a — by- -h { }' — a — b' )2 = ( /• -4- r'y.

En effet, soient, par rapport aux axes Ox et Oy {fig. 4)> C et C les points dont les coordonnées sont a et a' pour le premier, h et h' pour le second; CA et CB, deux rayons parallèles des deux circonférences décrites de C et de C comme centres, avec /• et /"' pour rayons; les projections de CA et de C'B sur Ox seront respecti- vement

a — (i cl p — b.

( '^I )

eL leurs projections sur Oj seroiiL

a'— a' et ^' — ^>';

en conséquence, si l'on construit le point C(, dont les coordonnées soient a -h h et a' -\- />', et qti'autour du

Fis. 4-

point Cl on décrive une circonférence de rayon /■ — /', celte circonférence sera le lien cherché.

En effet, les coordonnées d'un point M de cette cir- conférence seront

et

Xy=^ a -r- b jK,= a^ b'-

_r/^3 — 6 = 2-^? — a' -r- 3' — 6'= a'— 3'

o. De la ligne droite. — Les conjuguées d une ellipse étant toutes les hyperboles qui ont avec elle un système de diamètres conjugués commun, les conjuguées d'une ellipse évanouissante, telle que le lieu représenté par l'équation

(jK — nix — P )'— ( nx — q)- = o,

seront des hyperboles réduites à leurs asymptotes 5 cha- cune de ces conjuguées sera composée des diagonales

( 22 )

de l'un (les parallélogrammes coiiblruits sur deux dia- mètres conjugués d'une ellipse liomothétique à la pro- posée, par rapport à leur centre commun, telle que

{y — nix — p )--{- {nx -1- q)'=^ k'-.

Ainsi, les conjuguées du lieu

( y — DIX — p y- -h ( nx -h q)' = o

constituent deux faisceaux de droites, émergeant l'un et l'autre du point réel

nx -\- q = o, y — mx — p = o,

où se réduit l'ellipse évanouissante.

L'un de ces faisceaux constitue le système des conju- guées du lieu

r = { i>i -r- n y/ — i) X -T- p ^ q \J ~ i ,

et l'autre, le système des conjuguées du lieu

y = ( m — Il \J — I ) X -7- p — q v — ' •

Considérons l'un de ces lieux en particulier. On pourra toujours déterminer m + n\l—\ et p ^^ (f \j — I , de façon que l'équation

y ^i^i^m -^ Il \l — I )x -^ p -^ q \J-

adniette deux solutions imaginaires données (x', y') et [x'\y")\ l'équation

y —y'= — -y (x — x)

répondrait, en ellet, à la question.

Si les deux points (x', r'), (x",y) ont été pris sur une même conjuguée C d'un lieu /'(.r,r) = o, la droite

( '-^ )

do (;araclëiisli(|iio (] du lien

y — y I

sera une sécante elîective, ([uoique représentée en coor- données imaginaires, de la conjuguée C du lieu

/■(.r, y) = o.

SI les deux points (x'. }'), [x"^j") tendent à se con- fondre sur la conjuguée G du lieu /'(x, } ) = o, la même droite deviendra tangente à la même conjuguée. Enfin, si les deux points (x', j'), {x', y") s'éloignent à l'infini sur la même conjuguée C du même lieuy(a:, 7 ) = o, la même droite devieiulra asymptote à cette conjuguée.

On voit par là (pie la forme imaginaire sous laquelle sont représenlées les droites d'un faisceau

y

( m -\- n \/ — \)x ^ p -^ q

ne s'opposera aucunement à la solution des ([uestions relatives aux tangentes et aux asymptotes, aux courbes représentées elles-mêmes en coordonnées imaginaires.

Au contraire, il est clair qu'il fallait bien qu'une droite fût imaginairement représentée pour pouvoir en- trer analytiquement en concurrence avec une courbe représentée elle-même imaginairement.

L'important était de constater que l'équation

Y =^{^ III -T- n \/ ■ — I ) .r

p^qsJ-K

contient juste le nombre de constantes arbitraires suffi- sant, sans superfétalion, pour permettre d'établir tel concours que l'on voudrait entrer une droite du faisceau

j' = ( /n -r- /i v — \)x -T- p ^ q \/ — I

et une conjuguée désignée' d un lieu donné.

( M )

Il en sera toujours de même dans loules les recher- ches possibles. C'est ainsi, par exemple, que l'étude préalable des conjuguées du lieu

{x — a — h \l — i)" -H (j' — «'— h' \J — i)'— ('■"+" '■'v'' — 0^

se trouvera tout naturellement désignée pour présider aux recherches relatives aux courljures des conjuguées d'un lieu quelconque.

L'équation en coordonnées réelles de la conjuguée C du lieu

j>' = ( m -r- n y/ — \)x -^ p ^ q sj — • l

résulterait de l'élimination de a, ^i, a' et ^' entre les équations

(a'— PV— •) = (m -t- n sf^^\) {,y. — '?j \f^\) ^ p -^ q /— i , Xi = a -T- p et ji = a'-+- |3' :

c est

•>.qn

Il = m

G'

mais on ne s'en sert jamais sous cette forme compli- quée, par la raison que, dans les recherches théoriques sur une conjuguée désignée d'un lieu donné, on sup- pose toujours qu'on ait d'abord rendu réelles les ab- scisses des points de cette conjuguée, par un choix con- venable d'axes, et que les droites imaginaires, utiles à considérer, doivent alors, nécessairement, avoir aussi leurs abscisses réelles.

Or, si l'on suppose les [i nuls, C = ^ est alors infini, et l'équation précédente se réduit à

yi= (/«H- n)Xi+p-^q.

Lorsque le coefficient angulaire m-\-n\/ — i d'un

( ^5 ) faisceau de droites imaginaires de\ lent réel, c'esl-à-dire lorsque réf[ualion du faisceau se réduit à

y ^ mx ^ p -^ q \J — i ,

toutes les conjuguées du faisceau se replient sur la

luème droite

jKi = inxi—p — q:

on le vérifie aisément.

6. Des tangentes aux courbes imaginaires. — Si deux équations

/(X, Yi^o et /,(X, Y) = o

ont une solution commune (x^j'), et que, d'ailleurs,

ces deux e([uations fournissent pour -y-? en ce point, la

même valeur ?u — ji \^^ — i, les deux lieux admettront les mêmes éléments autour du point (Xf, ) ,),qui re- présenterait la solution commune; ils auront autour de ce point un disque élémentaire commun dont le con- tour sera défini par les équations

dy = dyJ— f/3'v/^^ = ('m — n sf^x) id-j. -^ f/3 Z^)

ou

f/a' = m dx — n f/3 et

r/ 3' = n d-x — m f/3 ;

d'où

d'x -T- d"^' = { m ^ n) d-x -^ (m — /i) d'^,

c'est-à-dire

, m -r- 71 ^ I III 11) ^

dyi ^ d:c ^

dxi d'^

d'x

Si l'on considère, en particulier, les deux courbes,

( 26 ) déliiiies séparément par les deux é(|ualions proposées J\x^ j) = G, f^ (x, r) = o et par une relation coni[)lé- nientaire coraniune, d'ailleurs arbitraire,

-~- aura la même valeur de part et d'autre, et les deux

eourbes seront tangentes. Les deux équations

/(X, Y) = o

dy

d^ doi

et

Y-r

dj:

(X — x)

remplissent les deux conditions sup[)Osées, (pielle que soit la solution (x, r) 'l'- ,/( -^i V) =o, et si, au lieu d'une condition quelconque '^(a, [i, a', [j') = o, on in- troduit la condition

h-

G désignant la caractéristique du point i^x, y), dune part, la courbe tracée sur le lieny(X, \ ) =:: o sera la conjuguée C de ce lieu: d'autre part, la courbe tracée sur le lieu

dv

Y

-y

dx

;X — x) — {jn -1- /( / — 0 (^ — -2^)

sera la droite de caractéristique C du faisceau correspon- dant, et la droite sei-a tangente à la conrl)e.

Donc la tangente à la conjuguée d'un lieuy^(X, \ ) = o, au point (.r,, ),) de cette conjuguée qui correspond à la solution {Xi r), est la con|Uguée C du faisceau

\ — y = — --^TT- — -—-(X — x). fy(x,r)

Des tangentes menées par un point extérieur réoL

( 27 ) à un lieu r^présciilc par une ê(/uatioii algébrique, et application aux courbes du second de^ré. — Soient y(X, Y):=o ré(|ualioii du lieu proposé, el Xq, J'o l^s coordonnées du polnl donné, les coordonnées x et JK du point de contact inconnu seront fournies par les deux équations

et

Zq représentant i .

.Les solutions de ces deux équations seront en nombre m(m — i), si fn est le degré de J^(x,j). Aux solutions réelles correspondi'ont des tangentes réelles menées du point (xo,j)'o) ai^i Vieu réel.

Si les deux équations admettent les solutions imagi- naires conjuguées

.r — a ±: S y/ — i ,

le faisceau de droites que représenterait l'équation

contiendra les deux points (x,j) ) et (xo^j'o), parce que les deux égalités

et

seront satisfaites , comme étant les deux équations mêmes du problème. D'un autre côté, le point réel (xoij'o) sera le centre du faisceau

par conséquent, toutes les droites du faisceau y passe- ront. La droite du faisceau qui aurait pour caractéris-

( 28 )

0»

lique celle ^ de la solution obtenue joindra donc etVec-

tivenient le point (j^oOo) ^^^ point (x,j); mais les deux lieux

/(X, Y) = o et X/; + Y/; -/: = u

contiendront les mêmes éléments autour du point re- présentatif de la solution (X ^ x, 1 =.}')• Donc, en-

w fin, la droite de caractéristique C = ^ du faisceau

Xy^. H- 1 y.'-j-y^= G sej-a bien l'une des tangentes me- nées du point (xo, j'o) 'T la conjui^uée C du lieu y(X, 1 ) = o. Comme on aiira obtenu deux solutions conjuguées, on connaîtra deux tangentes menées du même point (xq, jKo) à la même conjuguée du lieu pro- posé. La caractéristique C de cette conjuguée dépendra dé la situation du point (.ro,j)'o)- Si les deux équations

/( .r, J ) = o et ^o/i -+- yofy -^/c = o

avaient d'autres solutions imaginaires, il y correspon- drait généralement des tangentes à d'autres conjuguées.

Si, en particulier, — -=^ était réel en l'un des points

imaginaires de contact et en soit conjugué, ces deux points appartiendi'aient à l'enveloppe imaginaire des conjuguées du lieuy(X, Y) := o, et l'on se trouverait avoir mené du point {^o-, Jo) deux tangentes à celte enveloppe.

Supposons qu'il s'agisse d'une ellipse réelle ABA'B' {fig- 5), et soit M le point donné (a"o, Yo)-, on sait que la polaire de ce point est parallèle au diamètre conjugué de OM et quelle est réelle; elle ne peut donc couper le lieu qu'en deux points de la conjuguée dont les cordes réelles lui sont parallèles, c'est-à-dire de la conjuguée

( ^^9) qui louclie l'fîllipse aux cxlréiiiités A cl A' du dia- mètre OM. Soit NjN' cette polaire: les points de eontaet clicrcliés seront N et K', et les tangentes elierehées se- ront MN et Mi\'.

l-is. 5.

Supposons en particulier que le point donné soit l'un des foyers réels de l'ellipse et que celte courbe soitrapportéeàses axes : la polaire du point y=o,x = c

sera x=—, elle coupera 1 ellipse — ' ■ — - "■•- points

62

a-

les tangentes menées au lieu en ces deux points sont les conjuguées à abscisses réelles des deux faisceaux

X , Y /—

— ± — y — I — I = o

c c

Y = in /— I X ± c /— 1 .

Ces tangentes ont donc pour équations en coordonnées

réelles

\ = =H X ± c,

elles sont rectangulaires entre elles et elles passent géo- métriquement par les fovers imaginaires de l'ellipse

et

y

c;

( ^o )

d ailleurs leuis équalious en cooidoniiées imaginaires sont satisfaites par x = o avec j' = ± c \J — i . C'est pour cela que le calcul donne les deux foyers imagi- naires.

Les quatre tangentes menées à l'ellipse des deux foyers réels F et F' forment un carré dont les autres souiuiets sont les foyers imaginaires cî et o'. Les tan- gentes menées des poiuts o et o' considérés couime ima- ginaires coïncideraient avec les tangentes menées des points F et F' réels.

Le carré F'oFcs' est géométriquement et ajialytique- ment inscrit à la conique.

Si l'on rapportait l'ellipse à deux de ses diamètres conjugués a et b' et que, en supposant a' > /?', on prit sur le diamètre a' le point situé à une distance du centre égale h c = )Ja''- — />'-, on arriverait à des conclusions analogues; seulement, au lieu d'un carié inscrit dans la conique, on trouverait un parallélogramme ayant ses dia- gonales égales; les (jualre sommets seraient des simili- foyers.

Si Ton faisait varier le système des diamètres con- jugués, les quatre simili-foyers décriraient un lieu sur lequel ils se réuniraient à l'origine lorsque les diamètres conjugués viendraient se confondre avec ceux qui sont égaux; à ce moment, les quatie tangentes deviendraient géométriquement indéterminées ; elles seraient bien représentées, par rapport aux axes, par exemple, par l'équation complètement déterminée

mais toutes les conjuguées de ce lieu répondraient à la question, parce qu'elles contiendraient toutes le point donné (.Tq^Jo), transporté à l'origine. L'ensemble de

( 3. )

ces conjuguées serait coiislilué par 1 ensemble des asyni- ptoles de LouLes les hyperboles conjuguées de rellipse. Nous verrons bientôt cju'il en est de même pour tous les lieux algébriques : si, en clitMcliant les asymptotes d'une courbe ^"(a:, r)=o, on en a trouvé une imagi- naire

j = {m~ n v'-^!) -y -r-p -^ q V — I ,

en réalité, on a trouvé un faisceau d'asymptotes à toutes les conjuguées du lieu proposé.

Si le point (\ro,_Vo)? par lequel on voulait mener des tangentes à un lieu y(x, ))= o, était imaginaire, les in\in — i) tangentes trouvées appaitiendiaient à des conjuguées non désignées d avance et d'ailleurs ne pas- seraient généralement |)]us par le point (.ro, j o) réalisé. Ce cas ne présente aucun intérêt pralicpie.

7. Quelques propriélés de l' enveloppe imaginaire. — iji l'on propose de mener à un lieu de degré ni, y(a',j)=o, des tangentes parallèles à une direction réelle donnée, y =: kx, les points de contac t appartien- dront soit à la courbe réelle, soit à l'enveloppe imagi- naire des conjuguées. Le nombre total de ces tangentes sera ni[ui — i). puisque les équations du problème se- ront

f{x,y)=o et _/r^/,.

Il eu résulte que, si l'une des enveloppes n'a que p tan- gentes parallèles à une direction donnée, l'autre en a ni{^in — i) — p. A ce point de vue, les deux enveloppes sont, supplémentaires .

Si j' = mX-h C5(w) est l'équation générale des tan- gentes à la courbe réelle représentée par une équation, /(X, Y)= o, Y = {m-^u^ ir7)X-h '^(m -i- n ^ ^j

( ■■>- )

sera éviJeiuineiil l'équation générale des tangi'iites à loutes les conjuguées. La solution double couimune aux deux équations

/(X, Y)=o et \ = {m-hn\/ — i) \ -h 'si{m ^- n \/ — i)

représentera le point de contact et si, dans cette solu- tion double, on a ^ =: C, la conjuguée C du faisceau

Y = ( /n -\- n \l — I ) X -I- o ( m -\- n y/ — i )

sera tangente au point en question à la conjuguée C du lieu /"(x, j) ) = o.

Aux valeurs réelles de m^ pour lesquelles '-^(ui) serait imaginaire, conespondront des taugenles à l'enveloppe imaginaire des conjuguées du lieuy"(X, Y)= o.

Si zi(^m) peut devenii- imaginaire, deux de ses valeurs deviendront mouicntanément égales et le point de con- tact des deux tangentes confondues sera alors un point d'inflexion du lieu réel.

Ces deux valeurs de '.3 (m) pourront, avant d'être de- venues égales, être représentées par

.^(m)±v/y_(/»).

y (m) étant alors positij"; aussitôt après, elles devien- dront

'l{m)±\/—x{/n)^/—],

— '/{ni) étant alors positif.

Les deux tangentes au lieu réel seront représentées par

Y = //i X -h «^ ( /n ) ir y/y ( i/i ) ;

quant aux deux tangentes à Tenveloppe imaginaire,

( 33 )

clic- le seront [)ni"

Y = m \ ^<l( ni)~z \l — •/ ( m ) \' — i .

Mais celle tl(;iiiicic c(|uali()ii ne re[)réseMle (|iie la seule droite

Y = /?? X -4- o (' m ) rz \/ — y i /// i .

Il résulte de là que les deux <'iivcloppes d un iiiciiic lieu sonl rcspecliveiuenl les enveloppes de droites repié- seutées, pour I une, par une ('(juation telle (|ue

Y = /?? X ^ 'L ( m ) zr s/'l ( /" I et. pour l'autre, par ré([ualion eorrcspondanle '^' = m X -^ •!/(/;?) dz \' — y {m ) .

11 eu résidte (|ue /ev ihutx cin'cloppes d un même lieu sont toujours; réciproques l' une de V autre, lors- qu'elles coexistent.

Au moment où •/(/;/) s'annule, le point de contael appartient à la fois aux deux enveloppes et est poiiit d'inflexion pour l'une et pour l'autre, puisque les deux tangentes, à ce moment confondues, à lune ou à l'autre, deviennent instantanément imai;inaires pour l'une ou l'autre suivant qu'on (ait varier m dans un sens ou dans l'autre, à partir de sa valeur singulière. Il en résulte que les deux enveloppes ouf toujours les mêmes points d in/lexion , tpi elles se touchent en ces points et qu elles s'y tournent leurs con\'exites.

Une asymptote réfdle

Y = //i .r -f- o ( //i }

d un lieu réel est toujours la réunion de deux tangentes à deux branches distinctes du lieu.Lorsquecette asymptote ne coupe le lieu qu'en deux points situés à l'inlini, sa

M. 3

( -M )

dircclion esL géiiciali'iiu'Jil une diriHliou limite pour les tangentes au lieu. Si l'on essayait de faiie varier daus un sens convenable la direction de la laugenle, à ])arLir de celle de l'asymplole, les deux tangentes, un instant confondues, deviendraient imaginaires et, leur coelTicicnt angulaire étant resté réel, les points de con- tact appaitiendraient à l'enveloppe imaginaire.

Il eu résulte que' les rlciix eiu'cloppes ont géneiri/e- luent les mêmes anniplotes .

«S. Des asymptotes aux combes imaginaires. — Lorsque le coefïicient du premier terme d'une équation algébri(|ue se rapproche de zéro, l'une des racines de cette é(juation grandit indéfiniment; mais, en devenant iniinie, elle devient indéterminée : son module devient inlini, mais son aigument reste indéteiiuiné si, du moins, on ignore comment le coedicient du piemier leiine de l'équalion considérée est lui-même parvenu à la valeur zéro; car, zéio est aussi indéterminé que 1 in- fini, étant l'un et l'autre des nombres dont les modules ont diminué ou crû indéfiniment, leurs arguments pou- vant être restés quelconques.

Supjiosons que deux équations algébriques

di; degrés m et «, soient telles que l'élimination, entre elles, de y conduise à une équation en x, de degré /nii — />. on dira que p des points d'intersection des deux lieux se sont transportés à l'inlini, ce qui expri- mera simplement qu'il n'en est resté que m/i — /;, à dis- tance finie; mais, en réalité, les abscisses et, par consé- (luenl, les ordonnées des p points passés à l'infini seront d(îvenues indéterminées : en réalité, les deux lieux au- ront p infinités de points comnuins à l'infini.

( :^>^^ )

Mais, si, au lieu cl(;s lieux supcrlicicls / = o et /i = o, ou cousidère spécialemeul, sur ces deux lieux, les deux courbes qui seraieul déliuies par les mêmes équations auxquelles on aurait adjoint une équation complénien-

taire

o(y., p, a', ^') = o,

ces deux courbes auront seulement j} points communs à l'infini.

Quant aux arguments des coordonnées de ces /) points rejctés à l'iuliui, ils seront parfaitenu'ul détei-minés.

En ellet, les valeurs inlinies de .r et dej^ devront sa- tisfaire indilléremment à 1 nii ou l'autre des deux sys- tènu's

y = o cl Ci = o CHi /'i = o el 0=0,

ces deux systèmes admettant éi^alemcnt les solutions in- finies considérées.

Supposons qu'on les reclierche dans les é(piations / vX cp : l'équation f[ a -f- [i y/ — i . a'+ |j' ^/ — 1 ) = o se décomposera en deux autres, dont les premiers membies, pour des valeurs infinies de a, |j, a' et [j', se réduiront aux parties homogènes des plus liants degrés; de même, l'écpiation '-2(a, ^j, a', |j') = o, pour les mêmes valeurs inlinies de a, [i, a' et ^3', se l'éduira aussi à une équation liomogcne en a, [ïi, a' et ^'.

Les valeurs infinies de a, Tj, a' et [^' seront donc déter- minées par trois équations homogènes qui assigneront les valeuis des rapports deux à deux de ces quatre quan-

3 3' tités, et, notamment, celles des rapiiorts - et -'-,5 ou les

^ ' 'J. y.

valeurs des tangentes des arguments de .r et de y deve- nus infinis.

Cela posé, supposons (pie l'on ait recliercli('', par les

( 36 ) niétliodes ordinaires, les asymptotes d'un lieu

f{x. y) = o.

et qu'on ait trouvé pour 1 une d'elles un coeilicient an- gulaire égal à tu H- n y' — i , et une ordonnée à l'origine, égale à p -|- </ y — i : en raison du calcul inème, l'élimi- nation de y eiitre

J'{.T, y) = o et y = [m -L- ti \/ — \)x -i- p -i- (J \J — i

fournira une équation d'un degré moindre de deux unités que celui de J{x^j ) = o.

Ainsi, si l'on adjoignait séparément, aux deux équa- tions

/(^, 7) = o et y={m^ns/—\)jr-\-p + ij^—\,

une même relation complémentaire

'i(a, 3, a', [i') = o,

les deux courbes ainsi définies seraient asymptotes l'une à l'autre, et auraient en commun deux points à l'in- fini.

Les conclusions seront les mêmes si l'on prend, pour

lelation complémentaire commune, ^ :^ C ; mais alors

les deux courbes considérées seront : l'une la coiiju-

guée C du lieu

f{x,y) = o

etl 'autre la droite de caractéristique C du faisceau

y = ( în H- n sj — \)x ^ p + q y/ — i ,

On voit ainsi que, lorsqu'on reiu outre, pour un lieu algébrique, une asymptote imaginaire, en réalité, on a

(37) trouvé un faisceau d'asytnptotcs à louLcs les conjuguées (le ce lieu.

Ou peut vérilier celte proposition de la manière sui- vante :

Si, en recherchant les asymptotes d'une courbe fi^x, y) == o, on a trouvé, pour l'une d'elles,

^ = ( /;/ -h II sf — \)x ^- p ^r- q \j — I,

il résultera du calcul même fjue, l'une des formes dej)'", délinie par ré(|ualion y(x, j)^o, se trouvera être

7' = ( 7?? -;- n \J — \)x -^ p -^ q \l — I

plus une fonction s (or) dont le module tendrait vers zéro, lorsque le module de x croîtrait indéfiniment. Mais, si l'on considère les deux lieux à abscisses réelles, définis par les deux équations

y =: i^ni -^ n / — i) r -\- p ^- q sj — i et

y = \ni -^ n ^ — \) X -^ p -T- q \J — i -f- o{x),

d'une part, ils se réduiront, le premier, à la conjuguée C = X du faisceau

y =L ym -T- Il s/ — i) X -T- p -^ q

et, le second, à une branche de la conjuguée C = x du

lieu

f(x,y) = o.

D'ailleurs, les équations en coordonnées réelles de ces deux ligne? seront, la première,

y = (^ni -^ ii)x -^ p — q

et, la seconde,

y = (m -T- ii)x -+-p -t- 7 -r- '^li^) -+- '-fii-T), 'f^{x) désignant la partie réelle évanouissante de '-5(x),

( 38 ) cl 'i2(-^) It' <'0('l]i('i('iil, aussi évanouissaiil, de \ — i .dans

La dioiU; C = x du faisceau

y — ( ni -+- n \/ — i ) r — /> -r- q s' — i scia doue asymptole à la coiiiui^uôc C= x du lieu

f(x. y) = o.

(^ela pose, il est clair (|ue, si deux lieux, de degrés m cl //,sout tels (ju en cliiuiuaul j' entre leurs équalioiis par rappoi't à un systèuie donné d'axes, l'équaliou résultante en X soit du degré inn — p seuletnent, il en sera tou- jours de même, quels que soient les nouveaux axes aux- (jucls on \iendrail ensuite à rapporter les deux lieux, [)arce (juc, aux nui — p solutions Unies trouvées précé- dennnent, il correspondra toujours, (;n raison des for- nniles de tiauslormalioii, nui — p solutions (inies, nou- velles, et (|ue, aux p anciennes solutions iulinies, il i'orrespondia, de. même, p solutions nouvelles infinies.

Il en résulte que, si l'élimination de }' enli'e

et uru'

eq

nation

n \' — i).r -T-/J

/(.r, j) = o

de degré ///, conduit à une é(|ualion en .r, de degré {m — 2) siuilement, le même iait se reproduira entn^ les équations des deux mêmes lieux, rapportés ensuite à de nouveaux axes f|uelconques ; de sorte qu(î les con- juguées des deux lieux, dont les cordes réelles seraient parallèles au nouvel axe des j, seront perpéluellement asymptotes l'une à l'auLre. On voit ainsi ([ue, si l'une des asymploles d'une cour])e se prc-senle sous une forme

imaginaire

y ^{^m-r- Il sj—\)jr^p'^q /— I,

( 39 ) (•('Lie équation ropréscnlcia un laisceaii d'asYin[)l(»les à toutes Jc's coiijui^ucies de ia courbe, et que la conjuguée C du faisceau seia l'une des asymptotes de la conjuguée C (le la courbe.

Une asymptote réelle, j = m x •+- /?, ii la couibe réelle est aussi asymptote à la con|Uguée C = m du lieu; eu edet, y = inx -f- p sera une corde réelle de la conjuguéi'

^ :=///du lieu, mais elle coupera cette conjugtu'e à Tin-

lini. La même asymptote réelle y ^nix -^p sera aussi généralement asymptote à l'enveloppe imaginaire des conjuguées, parce C[ue m correspondra généralement à une direction limite, pour les tangentes à la courbe réelle, de sorte <|ue si l'on faisait varier/// iiiliniiuent peu, dans un sens-convenable, l'ordonnée à l'origine de la tangente parallèle à la nouvelle direction deviendrait

imaffinarre.

Si l'on avait trouvé [)Our une asymptote d'im lieu une (■(juation à coefficient anirulaire réel

y ^^ m .r -T- p -r <] sj — i .

cette équation représenterait une tangente à l'inlini à

1 enveloppe imaginaire des con|uguées, c'est-à-dire une;

asymptote à cette enveloppe.

L'équation eu coordonnées réelles de cette; asymptote

serait d'ailleurs

y = m r ^ p -^ cj.

Corollaire I. — Le nombre des asymptotes réelles ou imaginaires, d'une courbe de degré //i est m; mais l'é- (juation d'une asymptote imaginaire en fournit une elfective pour cliaque conjuguée; on eu conclut que le nombre total des asvmptotes Av. la couibe réelle et d'une (juelconque de ses conjuguées est toujours ///.

Corolldli e Jl. — Si les asytnplotes d'une courbe de

(4o )

degré ///, ('taien! réelles, cliaciiiie d'elle!^, à la véiilé, pourrait être considérée comme asymplole à la conju- guée du lieu dont la caracléristifjue serait égale au coefticieut angulaire de celle asymptote ; mais les con- juguées, dont les caractéristiques n'auraient pour va- leurs aucun des /// coeflicienls angulaires des ni asym- ptotes, n'auraient pas d'asymploLes, ni par conséquent de branches inlînies; elles seraient donc entièrement composées d'anneaux fermés.

9. Théorie des conUicIs des di\'ers ordres des courbes imaginaires el , en parlivulicr. de leur conr- hnre. — ■ Si deux éipiations

/(\. Y) = o H /,(X. Y) = o.

(|ui admettent une solution commune

a" = a,,-!- 3,1 v'' — I • .)' = a',i -+- ^n \'' — ' ■

lournissent, pour cette solution, les mêmes valeurs de

(Iv d^y di'Y , • i> r ■ . '

-^, -^-^5 •-'■, , • ; cl SI 1 on adioinl séparément aux

(Le d.r^ dxi> •' *

deux équations f = o <'t f^ --^:= o une même condition

complémentaire

'j( X, ji, a', 3') = o.

admettant la solution a^a,,, ^^i^^lii,,, a'=:aî, et [îi'= ^j,, les deux courjjcs ainsi définies, réalisées selon la règle générale par j-, -— a -+- |j cl r, = a'-f- [j , auront /; + i points communs confondus avec le point

c'est-à-dii'c auionl en ce point un contact de I ordre />.

( 1' )

l'ai cH'lI, soiciil, au [)()iiil |r,.) dy

dx

d-y

dx'^

= nii

n, v/- "2 V "

di'y dxP

'h' /-

les valeurs communes, fournies séparément parles deux é(|ualious f = o et /, = o pour X -- r et Y --= >-", des p premières dérivées de Y par iaj)port à X, si l'on veut connaître les coordonnées \x + d , x, y H- (Uj^ de deux points infiniment voisins du point [x, 7 ], sur les deux courbes considérées, en posant r/, x = «^/a,, -«- (^/'j,, y — 1 et //i ) = c/a^, -r- <^/[j,, y — i , on aura, pour déterminer

dy.\, ou

r/a'„ et c/,^ip les conditions

f/3'

et avec

— I = (/?ii-^ /«[ y/ — i) (dy.,)-r- c/^o y/ — ')

o!^^^ f/ao — 'fS/A'^o -r- cp!;^;^ <'/a^, ^ 03.^ dp'çi = o :

c'est-à-dire, pour les deux courLes , trois é(juations homogènes identiques entre Ja„, <^ jo, <^/a|, et f/|iio, d'où

d'j l'on conclura les niènu's valeurs poui- V— ? t>t, i)ar suite,

rtX„ '^

pour -j-j-' c'est-à-dire pour r/, .7 et jioin- <^/, > , si l'on sup-

pose qu'on prenne, des deux côtés, la même valeur pour f/a„.

Les deux courbes auront donc un second point com- mun confondu avec le point [7.,,+ 3o, ^1, -{- [i^], et les coordonnées imaginaires de ce second point seront X -\- dfX et 1 -h (If )-.

( 42 )

En (;c! second point, les dérivées de j par rapport à ,r, tirées de l'une ou de l'autre dc^s équations /= o ou f^ = o, auront pris leurs anciennes valeurs augmentées des produits par d\X de leurs dériv(';es, c'est-à-dire

-^ = (/??, H- «, »/ — 1 ) -i- ( /»9 -r- n.^ J — I ) cL X.

fl% y ,

— ^ = ( «?, H- «2 /— I ) -f- ( "'3 -(- /«S /— i) fh -r, dx-

-^î^^ = (/»/;-!— /?/,-,/— i)-^ {n>,,-^ n,,s/—\)dix:

elles seront donc les mêmes de j)ait et d'autre. jus(ju'à l'ordre jy — i .

Quant aux dérivées p"'""'^ de y par rapport à .r, elles ne seraient plus les mêmes an [)oint [:r+V/,.r, j} H-<;/,j) ],

f^^P+i -y- "/>+! \ — i n'avant plus la même valeiu" sur les deux" lieux.

Quoi qu'il en soit, on démontrera comme précédem- ment que les deux courbes auront encore, au delà du point correspondant à la solution Çr -{- r/,.r, )• -r- (Uy)i un autre point commun [x^ d ^x -r- d-^x , y-i-d ^ ^ ^d-2j], et ainsi de suite, jusqu'au (/> -h i )"""" point

\x ^ diX — dox — ... — di,x. y — diV -î- doj' — . . .— d,,j] :

mais le laisonnemcnt ne pourrait pas s étendre au delà, puisque, arrivés à ce ( /) + , y"'"' point, on ne pourrait plus dire que les dérivées premièies de > par ra[)p(ut à X seraient encore les mêmes, soit (pi'on les tirât de y =: o ou de y, = o.

Le théorème énoncée est donc étahli (juelle (jue soit la relation -^ = o.

11 subsistera si, au lieu d une relation de forme quel- conque, satisfaite par les valeurs y.,,^ [j,,, a'„, ^j„ des va-

( 43 )

iinl)Ic's, on prend spécialcinciiL J;i iclalioii

i' - Ëk - r

C élaiil la rara(;l(''ii.sLi(|iR' du point [x,,, J)'o]> ^'^ alors le lliéorèiue s'énoncera dans les Lernies suivants :

Si, en un point commun à deux lieux /(X, Y) = o et /"i(X, Y)=:o, les dérivées de X par rap[)ort à Y, juscju'à la /7"^^""', sont les mêmes, soitcpi'on les lireii(; ré(|uation f=o ou de l'écjuatioji y, = o, les conjuguées des deux lieux, passant par ee point (-ommun, y auront un contact du p"'"'' oïdic.

Le tliéoième subsisterait encore si, au lieu d'être dé- finies par une équation commune cp(a, ji, 7/, ^') = o, les deux courbes considérées l'étaient par la condition concrète, de constituer li'S envelo[)pes imaginaires des conjuguées des d<;ux lieux J =z o et /( = o, c'est-à-dire que, si les enveloppes imaginaires de deux lieux y = o et f\ = o ont un point commun [.r, j] et que les deux équations f =^ o et j\ z=z o fournissent séparément les mêmes valeurs en ce point pour

r/Y . (P Y <li' Y

les deux enveloppes imaginaires auront, au point léali- sant la solution X = jr, Y = } un contact de l'ordre />.

Mais la démonstration doit être un peu modiliéi; pour s'appliquer à ce cas.

Soient au point [x, 7 ], comnnin aux (Unix envc;- loppes,

cfv\ • - . 11 1 1

-~ 1 = Dii, quantité iccllc, par hypollu-^f,

dx-

112 sj — 1)

dPy d.ri>

= /«/,-+- n,,\f

rS

^W"^*

les valeurs communes des dérivées de Y par rapport à X, au point [^, J ]-. tirées de /(X, ^) = o ou de

/.(Y,X)=:0. _

Si l'on voulait obtenir, sur l'une ou l'autre enve- loppe, un point [x + <it,x, y -+- d^j] inlîniment voisin du point [x, r]. en faisant d, x ;= r/, 'j.q -+- d, [iio \' — i et /-/, j =z dt a'y-i- f/, |j^, \ — I , on devrait d'abord, dans les deux eas, faire

d, a'o ^ di % \/— I _

, — — ''< 1 )

d{af.o — (/] po V — I

c'est-à-dire

f/, a^ = nii di oc^, et f/j 3,, = /») o^i 3o :

d'un autre côté, le point [xi -i-diX,y-r- d,r] ayant dû rester sur l'une ou l'autre enveloppe, il (audiait que la

valeur de ( -j^ ) en ce point lut restée réelle, mais cette

nouvelle valeur de -rrr se formerait dans les deux cas de

l'ancienne 7?«i , augmentée du produit [)ar <f,a:, de sa dé- rivée, c'est-à-dire de

( m 2 — n-i \/ — 1 ) c/i ,r o ii {lUi-r- /' o \/ — i ) id^ x^ -+■ d\ [j„ v — ' ) ,

d^ 7.0 et d s [jo devraient donc dans les deux cas satisfaire

w'--^.

nient voisins conmmns, lorrespond.inl aux deux solii- tioiis [a\ y | <;l [v -h (1 1 a\ y -h d, ) |.

Au second point [jc -\- (I,x, j + ''/( )'|, les dérivées de Y par ra[)[)orl à X seront devenues

d-^Y 'd\

r = nii-^ {nio-i- 'i2 V — ',) di.r. ijiianlilr ri'cllc, = ( /H-2 -+- '1-2 V— -ï) -^ ( ')i:i -!- H; V'' — l) (^l 'Z",

-^-^ = (m/,-i^«,,_,v/—i,) — (,/»/,+ «/,/— i)f/ia":

elles seront eneoie les mêmes sur les deux lieux, jusqu'à l'ordre p — i ; on démontrerait done, comme précédem- ment, (pie les deux enveloppes auront encore en com- mun un troisième [)oint

\x ^ di .r -T- d-2 T. y -7- d^y -i- d-iV \ .

et ainsi de suite jusqu'au {p -r 1 V'"*' point. En résumé, les deux enveloppes auront /' -h i points communs iu- liniment voisins du point [.r, 1 ]. c'est-à-dire auront en ce point un contact de l'ordre p.

Il résulte immédiatement de ces deux théorèmes séné-

O^r^'^^'^r*'

%Sl

■'<^m.

i" Que le rayon de courbure d'une conpiguée (|uel- conque d'un lieu (jucleonque, au point où cette conju- guée touclie l'enveloppe réelle du lieu, est égal au rayon de courbure de celte enveloppe réelle au même point.

En etiet, si l'on a déterminé par le calcul le centre [rt, è] et le ravon 11 du cercle osculateur à une courbe /(X, \) = o en l'un de ses points réels [a:, 7], les deux équations

/(X,Y) = o

(\-^/)2-t-(Y-6)2

R^

M^

( ^^ )

les valeurs communes des dérivées de Y par rapport à X, au point [x, j ], tirées de /(X, Y) = o ou de /.(Y,X) = o. _

Si l'on voulait obtenir, sur l'une ou l'autre enve- loppe, un point \^x + cl^x^ y -f- d i y^ inlîniment voisin du point [x, )], en faisant <^/, a' ^ <^, 7.0 + <^i [jo \/ — ' et ri, j =z dt a'„ -^ d , ^j„ ^ — i , on devrait d'abord, dans les deux cas, faire

r/i^u -H f/i 3o /— '

c'est-à-dire

f/j a;, = m 1 r/, x„ et d^ [i'^ = m , fl?i ^u :

d'un autre côté, le point [.ri 4- d,x, r 4- ^i.t] ayant dû rester sur l'une ou l'autre enveloppe, il (audiait que la

valeur de / -p^ \ en ce point lût restée réelle, mais cette

nouvelle valeur de -7^ se formerait dans les deux cas de dx

l'ancienne mi , augmentée du produit par <7,jr, de sa dé- rivée, c'est-à-dire de

(wj-^/iov/ — i)di.r ou {/»2-h /I2 \/ — 1) (d, a„+ ^A ?o /— Oi

d, 7.,) et d , ^3o devraient donc dans les deux cas satisfaire à la même condition

/»■, di p„ -}- /i-, di X(, = o, d'où

di jjo /io

di'Xù m 2

de sorte <[ue si l'on prenait, dans les deux cas, la même valeur pour d , a„, on trouverait les mêmes valeurs pour d , X et f/, y.

D'où Ton voit que, dans les livpotlièses admises, les deux enveloppes auront au moins deux points infini-

( 45 )

ment voisins toniniiins, torrespondanl aux deux solii- lions [x, r] <îl [■^' -h (ii ^'^ y -r- à^J^.

Au second point [,r-|-r/,x, J + fl\ ) |, les dérivées tie \ par rapport à X seront devenues

-r— = nii— ( i)u-^ /Il Y — I ) r/i.r. (iiianlil('' lécllf,

— -— — { z»., -+- /lî \' I / -^ ( /?J:j-T- /i:j y — l) diX,

elles seront encore les mêmes sur les deux lieux, piscpi'à l'ordre /> — i ; on dc-monlreiait donc, comme précédem- ment, (jue les deux enveloppes auront encoii- i-n com- mun un troisième point

\u- -+- di .r -^ ds^x. y -7- d^y -f- «t/^^k].

et ainsi de suite jusqu'au {p — T)"'"'" point. En résumé, les deux enveloppes auront p h- i points communs in- finiment voisins du point \JC•^^ ]• c'est-à-dire auront en ce point un contact de l'ordre j) .

Il résulte immédiatement de ces deux liiéorèmes géné- raux :

1" Que le rayon de couibure d'une conjuguée quel- conque d'un lieu (juelconque, au point où cette conju- guée touche lenveloppe réelle du lieu, est égal au rayon de courbure de cette enveloppe réelle au même point.

En edet, si l'on a déterminé par le calcul le centre [(7, Z)] et le ravon il du cercle osculateur à une courbe y(X, \) = o en l'un de ses points réels [x, 1], les deux équations

/(X, Y) = <. el K\ — af~^\ —h I- = K^

( 4(i )

adiiu'llroiit la soliiliou c oiumuiie [•'•'^j] t*t louiiiironl

d\ f/n , , , ,

on ce poiiiL, pour -j— et -rry-, ? les nieiiies valeuis; Jescoii- ^ ^ d\ ax- '

luguées des deux courbes réelles f|ui se toucheront en ce point auront donc aussi entre elles un contact du se- cond ordre, c'est-à-dire auront même ravon de cour- J)ure; mais on constate aisément que l'hyperbole équi- latère conjuguée d'un cercle a, en son sommet, pour' rayon de courbure, le rayon môme du cercle.

On en conclut le théorème énoncé.

2*' Si la valeur de re\j)ression

m]

d\y dx-

calculée en un point [.r, jjde l'enveloppe imaginaire des con|Uguées d'un lieu /"( X. Y ) = o, esl

/• s!

le rayon de courbure de celle enveloppe en (<• point

l'.n eHél, si les formules usuelles uni doniK', pour les coordonnées du centre du ceicle osculaleur au point

a -f- h \l — 1 el a -^ b' y —

deu

es deux ecjuations

/(X,Y) = o

et

(, \~a - h ^/—i)-^{\—a'—b' v/— I ')'=(/• -+- /•■ /— i)' admellront la solution commuiu' [•?',,'] el foui'nii'onl,

' 17 )

r/V r/n I . .

nuur -rr- <'t pour -rr- ? les uiciiics \;il(Miis en ce poiiil : ' a\ ^ d\- ^

mais -j- scia réel, le [)uiiil [-i'i) | c'IaiiL sup[)osé appar-

Iciiir à rc'nvrlo[)pe iiiiai^iiiairi; des coiipigiiccs du lieu y (X, Y ) = (), ce [)()iiil ap[)arUeiidfa doue aussi à l'eu- \elopp(! iinai;inaire des eon jui^iUH'S du lieu

( X — rt - A y/^j' + (Y - «'- b' y/^)' = ( r + r Z^', e'est-à-dirc au eerele

( \ — a — b y- ^ ( \ — a — b' )- = ( r -~ r )- ;

d'ailleurs les e]iveioj)pes imaginaires des deux lieux auront eulic elles uu eoutael, du second ordre au point correspondant à la solution [a:,}]; elles auront doue, en ce point, même rayon de courhuie. On en conclut le théoième énoncé.

Parabole oscilla /rica d'ordre p à une conjuguée i/uelcu}i(/iie en un (iiielcon(jiie de ses poinls. — J.a para- l)ole osculatrice d'ordre /;, à une courbe léelle, (ui un de s»'s points [-^1 J"]^ t;st représentée par l'érpialion

dy , ^. ^ «■/•- V (X — or y- dP V (X — .r)"

dx ' dx- \ .:>. dxi>

\ .X.

Si Ton avait rapporté un lieuy"(X, Y ) = o à des axes tels, que les abscisses de la conjuguée C de ce lieu de- vinssent réelles, l'équation en coordonnées imaginaires d'une des branches de cette conjuguée prendrait la Ibrme

Y'='^(X')-i-.i(X')v/^,

X' étant réel 5 mais l'équation de cette brandie, en coor- données réelles, serait

Y', = oi\')^.l(\'):

48

les cléi'i\ées de \' par rapport à X' élaut sujiposées

égales à

//)i ^ /Il V — I

ni -2 -i- 7*2 V — '

y:

celles tle ^ ', par rapport à X, seraient

m 2 -r- ;?..,

Técpiatioii (le la [)ai'ab(>le osculali'iee d'ordre />. à la eon- juguée considérée, an point [> , . ^\]^ serait donc, dans le nouveau système d'axes,

V, = y\ -i-( Wi-i- «,)■

X,

(m,

fip)

I -

1 . .1

On obtiendrait donc iinniédialeinenl l'équation, dans

le nouveau système d'axes, de la parabole cliercliée, si

l'on connaissait les dérivées /??, -|- //, ^ — i , . . . ,

lUp—Up^ — I de la nouvelle ordonnée ^ ' par rapport

. I ni- • 1 ' • - ^^^' '^^''y'

a la nouvelle abscisse; mais ces dérivées -^. ••• , -^-v-

a.r d.r i'

pourront toujours être Irouvees en lonction de —j-^ • • • •

dx

dl'^

-T-^? sans qu'on soit oblieé d'ell'ectuer la transformation dxP 1 ^

des coordonnées : il suffira en eilet. pour cela, de dériver

juscju'à Tordre p les formules de la transformation.

Ainsi, supposons, pour plus de simplicité, que les

preuiiers axes fussent rectangulaires, (pion ait conservé

( 19 ) raïuieii axe des .r cl qu'on ait sciilemcnl dirigé Taxe des )' |iarallèlcment aux cordes réelles de la conjuguée cil quesliou : les formules de Iransforniation seront

y' = -^ — - el .t' = .r — y col a',

y.' désignanl l'angle du nouvel axe des j avec l'ancien

axe des x.

On déduira d(; ces formules

dy' I dy dx d.r' dy ,

-j-, = -. — , -1- -j-' ^'- 1" = ' 7- cola ,

dx SM) s( dx ax dx dx

d'où

puis

dy' _ I dy

dx sina' dx dy

, rot 7 dx

dy

777-

dv

in < ' 7-<^Ol3!

d- y I '■/ '■ dx

dx- sina' dx dx'

dy^ dx

-^ cola

dx \

dx d V

I 'y- cota ,

dx

et ainsi de suite.

On pourrait donc développer en série, par la formule de Taylor, l'ordonnée réalisée d'une conjuguée quel- conque d'un lieu quelconque.

Revenons au rayon de courbure d'une conjuguée quel- conque en un quelconque de ses points.

Si le lieu était rapporté à deux axes rectangulaires dont l'un, celui des 7 , IVit parallèle aux cordes réelles de M. " 1

, • , • ^ ' ' . dy d-y . .

la conjuguée considérée, et si -f- (it -—, avaient pour

valeurs, en un point de cette conjuguée,

dy I d-y ,

-^ =;«-«/-. et _=;, + .y/-i,

les dérivées de l'ordonnée réalisée, par rapport à l'ab- scisse réelle, auraient en ce point pour valeurs

dvx . fl^-y^

^ = '" + " '^^ 1Z^=^-^^' en sorte que le rayon de courbure serait représenté par

[ I -H ( ;n — « )- ] "

R =

p^q

Si le lieu était rapporté à des axes rectangulaires quel- conques, les formules de transformation feraient con- naître, comme on Ta vu, les quantités cherchées m -f- ii et /> + q.

Le calcul fait directement donne, par rapport à des axes rectangulaires quelconques,

"(/« -I- C f- -4- «2 {il — C )-^"| -

J ( 7- — /•' ) (G3— 3 G «2) -+-(/• -r- /•')( 3 C'-i 11 — ii^\

où c désigne la caractéristique de la conjuguée consi- dérée, ;• -h r \ — I la valeur de l'expression

\^-m\

dx-

calculée au point considéré, et n le rapport du petit au

( ■>^ )

grand axe de l'ellipse évanouissante

qui contient les éléments du lieu au point considéré.

Si le point considéré de la conjuguée c était celui où elle touche l'enveloppe imaginaire, /i serait nul et la formule précédente se réduirait à

R = '■'--'-'% /• — /■

on peut arriver à ce résultat en partant de la formule donnée plus liant

3

P ^ '1

En Y faisant d'abord n = o, puisque le point considéré appartient à l'enveloppe imaginaire, il vient

R =<' + "">•; mais la formule

donnerait toujours pour R la même valeur r-f- /' y/ — i , au même point, quels que fussent les axes rectangulaires auxquels le lieu fût rapporté ; on peut donc poser, en sup- posant les axes rectangulaires, l'axe des j^ parallèle aux

cordes réelles de la conjuguée et -.-4 = /' + (j \/ — i , au

• 1 ' ' dv

point considère, avec -^ = m ' dx

3 (l-f-TO2)-^

d'où l'on tire

ri I -4- m-)- , (i -+- m- j-

P = :. TT- ''f (] =— '■ — -. ^■

' r--\- r - r--H /■ -

et, par suite,

(/■ — 7-')(n-m2y^ P-^I = r-^ — -, '

d'où

R =

Théorème. — La dés'eloppée de V enveloppe imagi- naire des conjuguées d'un lieu plan est V enveloppe imaginaire des conjuguées de la développée du lieu.

Cette relation remarquable entre les deux enveloppes se démontre de la manière suivante :

Soient X = a + [3 y/ — i , y z= a' H- [j' y — i les coor- données imaginaires d'un point a, = a -4- [i^ j ^ = a'+ ^j' de l'enveloppe imaginaire d'un lieuy(X, Y) ^= o-, J7i la

1 ' n 1 ''^y fr • 3' /-> 1

valeur réelle de -;- = — ~r en ce point et ^ =L, : le

faisceau

Y— j' = w(X — .Ï-)

OU

Y = m X -f- a' -t- p' / — [ — /» ( a -t- p /— i)

des tangentes au lieu ^/(X, \ ) = o, au point

.r = a -T- fi V — I . y = a' -h p' y/ — i ,

se réduira à la seule droite

Y = ni X + a' — m 7. -i- jj' — m p, tangente à l'enveloppe imaginaire au point

j", =z a-f- [il, j)-i= a'-t- P';

( -^ )

diiii autre côté, le faisceau

ou

Y = - -■ X 4- y.'^ 3' v/-i-^- - (a ^ 3 sj~{) ni ni

se réduira à la seule droite

Y = — — X -- a'-^ 3'-^ - (a -^ p), m ni

et celte droite sera uormale à l'euveloppe imaginaire au poiut considéré, c'est-à-dire sera tangente à la déve- loppée de l'enveloppe imaginaire. Ainsi

clx

sera l'équation générale en coordonnées imaginaires des tangentes à la développée de l'enveloppe imaginaire; d'un autre côté

dx

où X et j" seraient réels, serait l'équation générale des tangentes à la développée de la courbe réelle.

ïMais, dans les deux cas, y—, f— x sera la même

' ' " or

dx l'onction de .r, ou de /«, qui dépend de ,r.

Les deux développées seront donc respectivement les enveloppes de systèmes de droites, tels que

Y = «i X -T- o ( m ) rr \f'b ( ni ) et ' .

^ = /?j X -t- -J ( m ) ±: i/— 'l ( ni ) .

( 54 )

c'csl-à-dire que chacune d'elles sera l'enveloppe imagi- naire des conjuguées de l'autre.

Quadratures.

10. Une seule intégration suffit aux quadratures du lieu réel et de toutes ses conjuguées. — En ellet, d'abord, si les ordonnées de deux brandies de la conju- fifuée à abscisses réelles sont

y = o{x) ± /— <>(^) /— I ,

celles des deux branches correspondantes de la courbe réelle seront

y = o{x)±\/<b{x),

et si l'on a pu obtenir riiitégrale indéfinie; on aura obtenu en même temps l'intégrale

Si, eu prenant cette dernière entre des limites a et Z», on a trouvé pour résultat

A±Bv/^,

A sera l'aire du diamètre correspondant aux cordes réelles de la conjuguée, B sera l'aire comprise entre la conjuguée et son diamètre, et A± l> sera l'aire même de cette conjuguée.

Ainsi, si l'on a pu obtenir l'intégrale fjdx, elle fournira la quadrature d'une branche quelconque de la conjuguée à abscisses réelles, et l'on peut remarquer

( ^5 ) (jue l'aire; do celle conjuguée sera mieux représenlée que celle de la courbe réelle, parce que la présence du signe y/ — I s'opposera à toule confusion entre l'aire du diamètre et l'aire de la courbe au-dessus ou au-dessous de son diamètre.

On pourrait obtenir l'aire d'une conjuguée quel- conque en la rapportant au même axe des x et à un nouvel axe des y parallèle aux cordes réelles de celle conjuguée; mais la Iransf'ormation ne sera jamais néces- saire, parce (ju'il sufiira d'obtenir l'aire indéfinie de la courbe réelle dans le nouveau système et que les aires de cette courbe, dans les deux systèmes, se déduisent aisé- menl l'une de l'aulrcî [)ar l'addition et la soustraction di; deux triangles.

Soient

OX, 0\ (,//^'- 0) le's axes rectangulaires auxquels la courbe réelle était d'abord rapportée;

Fi", (i.

Mo M un arc quelconcjue de celle courbe;

OY' une parallèle aux cordes réelles de la conjuguée

qu'on voudrait quarrer; MqP,, et MP les ordonnées anciennes de Mo et M; INloPo et MP' leurs ordonnées nouvelles.

Si l'on connaissait l'expression de l'aire indéfinie P'yMoMP', on en tirerait l'aire indéfinie de la conju- guée considérée, comprise entre l'axe des x, un arc

( 56 ) (jiielcoïKjiK; (.!(; celle conjuguée el les cordes réelles pas- sant par les exliéniités de cel arc.

Mais on passe de l'aire supposée connue P^lMoMP à Taire cherchée PyiAJ„MP' en ajoulaiil à la première l'aire du Iriangle PMP' el eu eu retranchant celle du triangle PoîMoP,) '■> soient a„ y„ el J:^,)J'„ les coordonnées anciennes et nouvelles du point M^. xy et a^y' les coor- données anciennes et nouvidles du point INl , les aires des deux triangles IMPP' et M„PoP|, seront

IsinY'Yj-r' rt .} sin Y' Yj'o jV'o

ou

— i cos Y'X J-J-' et — V cosY'X^/oJk'o ;

mais il conviendra, dans les expressions de ces deux aires, de remplacer les ordonnées nouvelles y' ot j'^ par leurs valeurs v.n fonction dey et jo : l'une des formules de la transformation intervenue étant

JK ^ jKsin Y'X, d' oïl

, y

r = —

si 11 \ \ ou prendra donc, pour expressions des deux triangles,

c'est-à-dire

Y- cosY'X 1'-^ cosY'X

■ -. — TTT^ cl — : ■-\'TT'

•}. sin 1 A •>. SMi 1 X

V ' V -

C désignant la caractéristique de la conjuguée dont les cordes réelles seraient parallèles au nouvel axe des y. En délinilive, ou aui-a identiquement

vl-v^

f ' r'ch-'=f

"•in Y'X / y' dx' = I y clx

' y

( -^7) Ainsi la seule iiilégraliou, niatfjiicc [)ar

Iburniia liîs ([uadralures de louUîS les conjuguées du lieu, en sorle que la question, eu ce (|ui coucerne ces quadratures, est entièrement résolue.

11 reste une question beaucoup plus importante, au point de vue du Calcul intégral, et qui consiste à ob- tenir rinterprétalion de l'intégrale

/ y dr

dans tous les cas (pie peut présenter le choix des limites [.r,),j) n] et [x,j ]. Or la formule

/ y dx = sin Y'X /

'"■''11..V0 '^' 'I,' .1,,

fournira celte interprétation dans tous les cas, comme on va le voir.

Mais, cette formub; n'ayant été établie, par des con- sidérations géométriques, que dans l'iiypothèse particu- lière où les limites [.^'(i,.i'(>] '"t [-^o] seraient réelles, il ne sera pas inutile d'en donner une démonstration analytique, qui permette de la considérer comme une véritable identité absolue, applicable à tous les cas.

Soient

./• z= //î.r'-i- // 1' et r =y?.r'-^ y )-'

les formules d'une transformation linéaire : la première

donne

dx = m f/.r'-i- Il cl y , d'où résulte

J'y dx = fipx'^ q y' ) ( m dx'-h n dy' )

= inpfx'dx'^ nq j y' dy' -^ niq fy' dx'-^ npj'x'dy' — I mpx'--^ \ iiqy'--T- mq f y' dx'-\- npfx'dy';

( 58 ) en iiilégraiilpar parties dans le dernier terme, on le rem- placera par

np{x'y'— Sfclx'),

et Ton aura, en définitive,

fy dx = mp — ■ -I- nq - — mpx'y'-h {rnq — np) j y' dx .

Supposons maintenant la transformation

a: = a:'-f-j''cosa', j'=j''slna',

qui se rapporte au cliangement d'axes que nous avions en vue, on aura

m =1, /? = cosa', p = o, q ^^ sina',

et il en résultera

fy dx = I siiia'co5a'_/'--l- ■sxn %' J y' dx'

y'i

ou, en remplaçant -)'- par • ,?

fy dx — ^ -+- si 11 y.' fy' dx' .

Comme nous l'avons déjà dit, la question la plus in- téressante que présente l'étude d'une intégrale

/ J '^^'^■.

où y est une fonction implicite, consiste à définir la va- leur concrète de cette intégrale, soit en raison des limites, soit en raison de la succession de valeurs qu'au- raient prises les deux variables pour passer de leur état initial [j"o) Jo] ■'» leur état final [j">J'], de façon, non seulement à pouvoir, au besoin, si l'intégration n'avait pas pu être elï'ectuée, appliquer à l'évaluation de l'intégrale les méthodes de quadratures approcliées, par la substitution, à une courbe, de polygones inscrits et

( 59 ) circonscrits, mais encore » lever les diiricultés qui pour- raient subsister quand niènie l'intégration aurait pu être efFectuée.

Ces difficultés tiennent d'abord à ce que, si les limites sont données seulement en ce qui concerne x, c'est- ;"i-dire si l'on ne donne que Xq et x, j „ et j^ auront cha- cune m valeurs, si l'équation entre x et j^ est de degré /n

l'intéi

X

y dx

aurait toujours au moins ni- valeurs ; mais surtout à ce que l'intégrale indéliuie f y dx^ si elle avait pu être obtenue, pourrait être compliquée par la présence de constantes allectées de coefficients entiers arbitraires, comme on le voit par

I

v/i

arc sin j",

à l'une quelconque des valeurs de laquelle on peut ajouter un nombre ([uelconque de fois 2-, et par

/

d.r

à l'une quelconque des valeurs de laquelle on peut ajouter un nombre quelconque de fois 2 — y — 1.

Ces constantes sont désignées sous le nom de pé- riodes de Vititégrale indéfinie ; et les nombres de fois que ces périodes doivent être introduites respectivement dans chaque intégrale définie dépendent du chemin suivi par le point [x, i ] pour aller du point [xq, j)'o] 3" point [jr, j].

!>ous chercherons d'abord à assigner, pour chaque système de limites, la valeur concrète la plus simple de

( 6o ) l'inlégrale définie; nous définirons et assignerons ensuite les valeurs conerètes des dilïérentes périodes, en même temps que nous déterminerons les nombres qui devront en être pris dans chaque cas.

11 . De la valeur concrète la plus simple fV une inté- grale, en raison de ses limites. — Quelles que soient les limites assignées, on pourra toujours les relier l'une à l'autre, et même de plusieurs manières : d'abord par un arc de la conjuguée à laquelle appartiendra la limite inférieure, prolongée jusqu'à son point de contact avec l'une ou avec l'autre des deux enveloppes; par un arc de cette enveloppe, interrompu s'il est nécessaire par un arc d'une conjuguée aibitraire, compris entre deux points consécutifs de contact de cette conjuguée avec l'enveloppe en question, dans le cas où l'on aurait à passer d'une branche de cette enveloppe à une autre de ses branches, qui n'aurait aucun point commun avec la première; par une branche de celle des deux enveloppes sur laquelle serait venu le point mobile, prolongée jus- (ju'à l'un de ses points de contact avec l'autre enveloppe, si cela était nécessaire; par une branche de celle des deux enveloppes cjui toucherait la conjuguée à laquelle appartiendrait la limite supérieure, cette branche étant prolongée jusqu'à son point de contact avec la conju- guée en question; enfin, par l'arc de cette conjuguée qui rejoindrait le point de contact, déterminé précédem- ment, avec le point leprésentatif de la limite supérieure.

Le choix de ce chemin assignera la valeur concrète de l'intégrale, en en faisant une somme d'aires connues par ci; qui précède, avec les signes sous lesquels il fau- drait les introduire, sauf cependant pour le cas, que nous allons examiner à part, du parcours d'un arc de l'enve- loppe imaginaire.

(6i ) Évaluation concrète de L 'intégj-ale fy dx jnise le lonq d'un arc de l'enveloppe iniai^inaire. — Soiiint

3" = a -f- 3 y/ — I . y = a'-;- 3 y/ — •

les coordonnëcs imaginaires d'un point quelconque de l'enveloppe imaginaire des conjuguées d'un lieu : un élément de l'intégrale prise le long de cette envelop[)e sera

( a'-^ p' v/^^) ( doi ^ d'i /^,» OU

( a' d'x ~ p V/3 ) -^ ( ^' dy. -^ t! d'i ) y/^ :

la valeur totale de l'intégrale s'exprimera donc par

(Z aV/a — S 3'f/^) -^ (S.3'^/a -^ ZaV/3) sl'^x .

Considérons en même temps la branche de l'enve- loppe imaginaire qui contiendrait les points imaginaires conjugués de ceux de la première, les coordonnées ima- ginaires d'un de ses points seront

= a — 3 /- I , y = '■^— 3' /-

I ,

et 1 un des éléments de l'intégrale Jjdx^ prise le long de celte seconde branche, serait

(a'- 3' y/^) {d'x ^ f/3 v/^) OU

7.'d'x — ;iV/3 — ('3'rfx — aV/3) v^^T.

de sorte que la valeur totale de l'inlégrale, prise le long de la seconde branche, s'exprimera par

( Z a V/a — Z 3' f/3 ) — ( I 3 V/a - Z a' f/3 ) y^^ .

Mais les coordonnées réelles d'un point du premier arc de l'enveloppe seraient a — [j et y.'-\- [j\ et celles

( ^2 )

du point correspondant du second arc seraient a — [i et a' — [5', de sorte que les aires comprises entre les deux arcs, l'axe des x et les ordonnées des extrémités de ces arcs, seraient

S =/(a'+ p')(rfa + ^j3)

et

S'^/(a'-p')(^a-^P) = ( S a'rfa -i- S j3'rf^ ) — ( S P' f/a ^ :S aV/j3 ) ;

(;es deux équations donnent, par addition et par sous- traction,

S a' doL + -L 3' cB = ^'^^

2

et

d'un autre côté, si l'on appelle S| l'aire du lieu des points milieux des cordes joignant les points imaginaires conjugués des deux arcs de l'enveloppe, c'est-à-dire si Ton pose

on aura

Za'f/a — S^'^p ==2S,— ^~^^'.

L'intégrale I = / y ^>', prise le long du premier arc, aura donc pour valeur

I ^ S^-S' S -S' /— 1 1

quant à celle qui correspondrait au parcours du second arc, elle sera

y o S ^- S' S - S' /

•X 1

Ainsi, dans tous les cas, quelles que soient les limites et

( 63 ) quel que soit le nombre des arcs à enipiuntcîr aux; tleux enveloppes et aux conjuguées pour rejoindre ces deux limites, les m"^ valeurs de l'intégrale

/

r. y

Y dx

s'exprimeront toujours par des sommes d'aires connues; et l'une quelconque de ces aires pourra être obtenue par les formules ordinaires de quadrature approchée, parce (jue, sachant mener les tangentes aux deux enveloppes et aux conjuguées, on pourra toujours comprendre chaque aire à évaluer entre les aires de deux figures po- lygonales : l'une inscrite, l'autre circonscrite à l'arc cor- respondant du Heu.

En résumé, les m- valeurs de la quadiatrice

£

y dx

d'un lieu f(^x,y)^=o^ de degré /?/, pourront toujours recevoir des définitions nettes du choix de chemins, em- pruntés tant aux conjuguées qu'aux deux enveloppes, et propres à rejoindre les m limites inférieures de l'inté- grale à ses /?i limites supérieures.

A la vérité, le chemin à suivre poiir relier l'une des limites inférieures à l'une des limites supérieures pour- rait être modifié de bien des manières différentes.

Mais toutes les intégrales qui auront le même système de limites ne pourront différer les unes des autres que par des constantes, parce qu'elles auront la même dif- férentielle.

l!2. Théorème de L' indépendance de la valeur d une intégrale fydx envers le chemin suivi pour en re- joindre les deux limites. — La théorie précédente pour-

( (34)

raitse suffire à olle-iiièine; cependaiil elle sera ulileinciit complétée par un théorème dû à Caucliv, au moyen du- quel ou fera disparaître ce qu'il y a en apparence d'ar- bitraire dans le choix exclusif des chemins définis plus liaul. Ce lliéorème, d'ailleurs, nous permettra d'obtenir l'intinie multitude des formes géométriques des aires propres à représenter les périodes d'une intégrale.

Ce théorème peut s'énoncer de la manière suivante : Un chemin ci(a, ^, a', [j') = o, propre à rejoindre les deux limites d'une intégrale, et qui ne passe par aucun point du lieu considéré f(x, r) = o, où la fonction y ou ses dérivées deviennent infinies, à partir d'un certain ordre, peut être modifié infiniment peu, puis insensi- blement d'une manière appréciable, sans qu'il en résulte aucun changement dans la valeur de l'intégrale fydx^ les limites restant les mêmes, pourvu que, durant sa déformation continue, ce chemin ne passe jamais par un seul point du lieu oiiy ou ses dérivées deviennent in- finies à partir d'un certain ordre.

On peut établir ce théorème de la manière suivante : Considérons seulement un élément de l'intégrale fydx : si l'on représente la fonction j^ par

F(.r) = F(a— [iv/^). on pourra indifleremment remplacer cet élément par

F ( a ^ ,3 v/^^i ) d'x + F ( a -f- (h. ^ 3 v^^) d'i y/^

ou par

F ( a + ^i /~i ) (1} ^/—i ^ F ( a, [i v^^ -^ <3 /^ ) rh,

c'est-à-dire, qu'au lieu de faire croitre en même tenqis a et j, [)0ur obéir à la loi '■i(a, 3, a', ^j') = o. on pourra les faire croitre successivement dans l'un ou l'autre

urilie. de lacfjii à iiiodilicf réliMiiciil du clu'iiiiii assigné ç(a, ^3, a', |j') = o, et à le <,liaiii,M'r indilléreiiiinenl, comme riiidiqne la (ii^iire, de Al> en Adlî ou en AC'h,

et

; mais à la eonditi(jn (|ue

c

F ( a -h 3 /^ -f- ^/3 \/~i ) ^z

puissent se conlondic respectivement avec

F(x -^ S v/^) d'i sf^^v et F ( a ^ [i y/^) rfa,

c'est-à-dire, comme

F(a ^ </x + ;^. v/^) = F(a + 3 y/^) ^ F'(a + ^ /^i) rfa

et

F(a + ^ v^^ ^ <^ y/^)

= F(a + p /^Ti) + F'(a ^ [i /-IT,) (^jB /Z.^i ,

à la condition que F'(a-|-^y' — i) ne soit pas infini,

sans quoi F'(a + [3 sj'^x ) cU, ni F'(>. -H [3 y^^ ) ^? V^^ ne pourraient plus être négligés.

On pourrait, sous des conditions analogues, modifier de même tous les éléments de l'intégrale, les uns dans un sens, les autres dans l'autre ; et recommencer indéfi- niment, tant que le nouveau chemin ne contiendrait aucun des points où la fonction ou ses dérivées devien- draient infinies.

Nous énonçons ainsi les conditions à remplir par le chemin mobile : d'abord parce que, si j' devenait infini, sa dérivée le deviendrait aussi; en second lieu, parce que pour pouvoir de nouveau isoler, dans le nouveau dx, le nouveau c/a du nouveau r/{3, et les faire passer l'un avant l'autre, dans l un ou l'autre ordre, il fau- M. j

( G()- ) drait que \

F'{cc^d'x^ 3 Z^) = F'(a -^ fj v''^) -+- F"(> + ;i y/^) f/7.

ou

F'(a -^ 3 y/^ -+ d^ \/^')

= F'(a -^ ^ y/=^i) -+- F" (a ^ ;i /^) d';!, y/^

se réduisissent l'un el Fautre à

F'(a-!3 /=",),

c'esL-à-dirc que F"fa+ |i y — i) ne lui pas inlini , el ainsi de suile.

Ainsi, deux elieinius terminés aux mêmes extrémités pourront se substituer 1 un à l'autre, si le premier peut se transformer insensiblement dans le seeond, sans que, dans ses formes intermédiaires, il passe jamais par un point où la fonction ou ses dérivées, à partir d'un cer- tain ordre, deviendraient infinies.

Le théorème peut s'énoncer d'une autre manière. En

etïet, si les valeurs de J y dx. prises le long des che- mins AMB {Jig- 7) et AM'B, sont égales, la valeur de cette intégrale, prise le long du chemin fermé A MB M'A, sera nulle ^ en sorte que l'on peut dire qu'une intégrale fjdx., prise le long d'un chemin fermé, est identique- ment nulle, lorsque ce chemin fermé peut se réduire à un point unique, sans que, dans ses transformations suc- cessives, il passe jamais par un point où la fonction j)'

( 6; )

ou SCS (lt'ii\('cs dc\ iciidiaiciiL iiiliiiics ;i partir d un ccr- Liiii ordre.

On i'('inar(jiu'ra (jul- I un ou 1 aulrc ihcorènic n a d'aulic ohjcl <|ue di' coniplèlcT la iiolion originelli; d'une iiilégrale; car il esl bien évident que, si une intégrale J j dx ^jouvait, les limites restant les mêmes, varier d'une manière continue avec le chemin (|ui relierait ces deux limites, cette intégrale, dès lors, n'aurait pas de sens.

iMais on compi'end parlaitement (|ue. de loin en loin, 1 intégrale puisse s'accroître de (|uautit('s iinies, lorsque It; chemin se déforme assez considérablement; quant à ces quantités finies, elles ne peuvt^nt être que des con- stantes, par la raison, que nous avons déjà dite, {|uerin- t(''grale

r

y dx,

prise entre les mêmes limites, conseive toujours la même dérivée, qui est la valeur de la fonction à la limite su- [)érieure de l'intégrale.

On peut piésenter le théorème de Cauchy d'une façon plus avantageuse : Si l'on établit entre les va- riables a, |j, a' et ^', une relation arhitrairt"

o(x, ^,a'. 3') = o,

cette relation, jointe aux deux dans lesquelles se décom- pose

fera de chacune des (juatre variables une fonction de celle que l'on voudra des trois autres; d'un autre côté, linlégrale

fy dx = J ■( x'+ '^' s^\ ){iloL-^ d'à v^^^i )

( 68 ) se décoinposeia vu quatie autres

foc'doc, — /3'^p, \,f^^if^'ch. et ^^~ifa'd^,

'\h

ibl«

dans chacune desquelles on pourra considérer la variaDle finie comme une fonction de Ja variable dont la di(î'é- rentielle entre sous le même signe d'intégration ; or il est facile de comprendre comment chacune des quatre intégrales pourrait n'ac([uérir qu'une valeur finale nulle, quand même la variable JC serait revenue à sa valeur initiale, sans avoir repassé par la même série de va- leurs.

Supposons, par exemple, que, au lieu d'une relation CD(a, (3, a', P') = G, entre les quatre variables, on en ail choisi une c;(a, [3) = o, entie a et [i seulement, figurée par la courbe AB {^fti^. 8).

Fis. 8.

^'^ ^-^v,' '

O"

Il en résultera, entre a' et a, par exemple, une rela- tion correspondante, figurée par une courbe telle que

A'A(./%-9)-

Soient M et M' deux points coirespondanLs de ces

deux courbes, c'est-a-dire a\anl la même abscisse a : dans l'hypothèse de la figure, f %'dx sera idenliquemeni nulle, parce que, tandis que le point [a, |3] fera le tour de la courbe AMB, c'est-à-dire tandis que a variera de sa valeur minimum %(, à sa valeur maximum a, et re- viendra de a, à ao, le point [a', a] ne pourra décrire, sur A'A, que l'arc NojN|, dont les cxlrémilés auraient

( % )

pour abscisses y.^ el a,, et ensuite l'arc A, JN^, de façon <jiie l'aire eni^endrée dans l'aller serait détruite dans le i-iloiir.

Pour que l'aire fy-'th. ne fût pas nulle, il faudrait que le point [a', a] eût pu passer sur une autre branche de A'A c|ue celle où se trouvait le point de départ, comme dans le cas de \dL fîg. lo, où le point [a', a] aurait par- couru le chemin INg AN, dans l'aller et le chemin i\ , AjN„

dans le retour; c'est-à-dire qu'il faudi-ait (lue , fût

' ' d'j.

devenu infini dans l'intervalle de a^ à a,.

Il en serait de même des trois autres intégrales : on

arrive ainsi à une nouvelle expression de la condition

pour qu'on puisse substituer un chemin à un autre, sans

que l'intégrale change : au lieu de dire que, dans ses

formes intermédiaires, le chemin ne doit pass(M- par

, dv , . • ,• • 1- 1

aucun point ou -y (levieiiiic inliiii. on peut dn'e que le

	Fig.	10.
a'	>;^	41.
	'^'é

doL d'^' dT.' li' ~dOi' d^

d'i'

chemin variable doit rester tel que deviennent infinis.

11 est aussi très aisé, dans cette nouvelle conception, de se rendre compte des conditions dans lesquelles l'in- tégrale J">'^x peut s'accroître de quantités constantes dans un parcours fermé par rapport à x, c est-à-dire lorsque a et 3 reviennent à leurs valeurs initiales, sans repasser par la même suite de valeurs.

( 7'> ) Reprenons l'exemple de l'inlégrale fv.'d'j.^ et suppo- sons que la courbe, dont les coordonnées sont a' et a.

présente un anneau fermé compris entre les val»'urs ex- trêmes a^ et a, de a, comme l'indique ]a. fig. i i .

Si l'on lait partir a de la valeur de l'abscisse du poinl Mq, qu'on le fasse croître jusqu'à sa valeur extième a,, abscisse de N,, qu'on le fasse ensuite décroître de a, à l'abscisse du point -M^ ou du point _M,, mais qu'on sup- pose (pie, durant ces variations de a, le point [a', a] ait parcouru le chemin Mo AX, AM,, l'intégrale J'y.'dy. aura pris la valeur de l'aire MoAM|.

Cette aire dépendra de la valeur initiale de l'abscisse du point de départ, jMo ; mais aussi a' ne sera pas revenu à sa valeur initiale, l'ordonnée de INJo-

Au contraire, si l'on faisait revenir a à sa valeui- ini- tiale, l'abscisse de Mo, en supposant que, après êti-e arrivé à sa valeur extrême supérieure a,, il fût revenu à sa valeur extrême inférieure ao, pour reprendre en- suite sa valeur initiale, l'abscisse de Mo, et que, duiant ce parcours, le point [a', a] eût décrit les arcs MqA, AN,,, N,A, AM,A', A'No, NoA', A'Mo, l'intégrale J 'j' (l'J. aurait crû de l'aire comprise dans le contour A'Mox\M|A', indépendante de la position du point de départ Mo-

J)'où l'on voit que l'intégrale^) (hr ne peut saccroltre d'une constante, dans un par( <mu's fermé par rapport à

( 7. ) la variable; .r. (|ii aitlaiil (jiu; la lonclioii 7 t'c\iiMiL elic- inùiTie à sa valeur iiiiliale, en tnèinc leinps que la va- riable .r.

DES i>i:kioi)i;s ni:s iategrales.

13. Tous les parcours se ramenant les uns aux auU es, nous pouvions donc réduire les chemins à considérer à des chemins composés d'ares des deux enveloppes ei d'ares de conjui^uées ; d'un autre côté, comme l'intégrale fydx ne peut s'aecroitre de constantes que dans des ebemins fermés, à la fois par rapport à la variable et à la fonction, Jious recheiebcMons les périodes d'une inté- grale dans les parcours d'anneaux fermés de la courbe réelle, de l'enveloppe imaginaire et des conjuguées.

Des périodes engendrées dans le parcours d'an- neaux fermés de la courbe réelle. — Si la courbe réelle représentée par l'équation f{x,)) = o du lieu considéré comprend quelques anneaux fermés, tels que AMBM'A ifig- 12), l'intégrale quadratrice de ce lieu,

Fi''. 12.

fydx, admettra évidemment pour périodes les aires enfermées respectivement dans ces dilférents anneaux fei'més.

En elfet, si le point [x, ) ] parcourt un nombre quel- conque de fois le chemin AMBM'A, l'intégrale fydx, durant le trajet AMB, s'augmentera de l'aire du dia-

( -/^ )

tiièlre A^»B, conjugué des cordes de 1 anneau parallèles à l'axe des y, et de Taire AMBNA comprise entre le demi-anneau supérieur et le diamètre, tandis que, dans le chemin 13 M'A, elle s'augmentera de l'aire, prise avec le signe — , du même diamètre et de l'aire BM'xAjN B, prise positivement, comprise entre la brandie inférieure de l'anneau et le diamètre, aire d'ailleurs égale à la pre- mière, de sorte cjue, à la lin du parcours, l'aire engen- drée sera celle comprise dans l'anneau AMBiVrA.

Mais le parcours de la courbe réelle pourra donner lieu à la formation d'autres périodes qu'on n'apercevait pas tout d'abord et sur lescjuelles nous reviendrons après avoir traité des périodes imaginaires engendrées dans le parcours des anneaux fermés de conjuguées.

Des périodes engendrées dans les parcours des an- neaux fermés de conjuguées. — Le produit par y/ — i de l'aire enfermée dans l'intérieur d'un anneau fermé d'une conjuguée quelconque d'un lieuy(X, Y) = o est l'une des périodes de la quadratrice f Y dX. de ce lieu. En etfet, soient AB, A'B' {fig. i3) deux branches de la

Fis.

u o

courbe réelle conq)renaiil entre elles une série de con- jugné(^s fermées, telles rpie EMP\M'R: soil ENF le lieu

( 73 ) (les milieux des cotiles réelles de eelle eoiijuguée paral- lèles aux deux tangentes EG, FG' à la courbe réelle : l'intégrale J'y dx prise le long du chemin EMP se com- posera, d'après une des propositions (jui précèdent :

De l'aire (tENFG'G du diauiètre EiNF raj)porté à l'ancien axe des X et à une parallèle aux cordes léelles lie la conjuguée ;

De l'aire l'éelle du triangle G'FQ. diminuée de laiie aussi réelle du triangle GEP ;

Endn, de l'aire EMFjNE, comprise entre la denii- conjuguée et son diamètre, cette aire étant allectée du signe -f- y — i .

Mais si, arrivé en F, le point décrivant [x, 7 ] par- court ensuite la brandie inférieure FM'E de la conpj- guée, dans ce nouveau parcours, l'intégrale ^jk 'i^x s'ac- croîtra :

De l'aiie FNEGG'F égale et de signe contraire à GEAFG'G;

De Taire réelle du trianirle GEP diminuée de l'aire aussi réelle du triangle G'FQ, lesquelles détruiront les aires des mêmes triangles, engendrées d'abord avec des signes contraires;

Enfin, de l'aire F'M'EAF égale k EMFNE et engen- drée avec le même signe H- y/ — i .

En sorte que, dans le parcours entier du con- tour EMFJM'E, l'intégrale Jydx s'accroitra seule- ment du produit par riz y — i de l'aire enfermée dans I anneau de la conjuguée, sj — i devant être all'ecté du signe -f- ou du signe — , suivant que le sens du mouve- ment aura été EMFM'E ou EM'FME.

( 7l ) Extension du second ihéorènie d.i/iol/o/itiis

— ab' siii 0 = T.ab.

relatif aux coniques, aux courbes algèhriques de tous les degrés. — Ce second lliéorème d'Apollonius, eu ce qui concerne l'ellipse, ne constitue qu'un fait évident, puisqu'il signifie simplement que Taire d'une ellipse reste la même, soit qu'on la ra[)p(>rte à ses axes ou à deux de ses diamètres conjugués.

Mais, appliqué i"i l'hyperbole, ce même théorème si- gnifie que toutes les i-llipses conjuguées d'une même hyperbole ont même aire.

C'est ce théorème que nous allons étendre aux courbes algébriques de tous les degrés^ il consiste en ce que les conjuguées fermées d'un même lieu, comprises entre les mêmes branches de la courbe réelle, ont toutes même aire.

Ce théorème est pour ainsi dire évident^ car, dans l'hypothèse contraire, l'intégrale f y dx aurait une in- finité de périodes iuiaginaires, c'est-à-dire serait complè- tement indéterminée.

Mais le théorème de Cauchy en fournira une démon- stration directe :

Soient AMBNA et A'M'B'iN'A' {fig. i4) deux demi- conjuguées voisines, comprises entre les mêmes bran- ches A A', BB' de la courbe réelle : les valeurs de l'inté- grale f y dx prises d'abord le long du chemin AMB, ensuite le long du chemin AA'iM'B'B seront égales, d'après le théorème de Cauchy; les parties imaginaires de ces deux valeurs seront donc les mêmes. Mais la seule partie imaginaire de la première somme sera l'aire AMBNA comprise entre la première demi-conju- guée cl le diamètre ANB, lieu des milieux de ses cordes

( -a

(('elles; (le mèiiu; (l.iiis la seconde soiiiiiie. la seule [)arlie imaginaire sera l'aire A'M'B'IN'A' eoiiiprise entre la

Kig. >',.

seconde denii-conjuguée et le dianièlrc A'.N'IV, lieu des milieux de ses cordes réelles; donc les demi-aires des deux conji

lusuées seront égales.

Nouvelle généralisation du même théorème. — Non seulement toutes les conjuguées fermées comprises entre les mêmes brandies de la courbe réelle ont même aire, mais encore si Ton rejoignait deux points quelconques C et D ijig- i5) de ces deux branches par un chemin

(juelconque CMD, et qu'on le l'ermài [)ar le lieu D.M'C^ des points imaginaires conjugués d(^ ceux (pii consli-

( 7^ ) lueraient CMD, l'aire CMD.M'C seiail encore égale a celle d'une quelconque des conjuguées. En efî'et, si l'on se reporte à ce qui a été dit de la valeur de l'inté- grale fydx prise le long d'un arc de l'enveloppe ima- ginaire, mais qui conviendrait également à la valeur de la même intégrale prise le long d'un chemin quel- conque, en appliquant les formules, trouvées alors, aux deux arcs CMD et CM'D. On aura

et

S| désignant l'aire du lieu C^lD des milieux des cordes joignant les points imaginaires conjugués des deux arcs CMD et CM'D, S et S' les aires des segments cor- respondant aux arcs CMD et CIM'D.

Mais l'intégrale prise le long de DM'C étant égale et de signe contraire à l'intégrale prise le long de CM'D, l'intégrale le long de CMD.M'C sera la diflérence entre I et I' ou (S — S') \J — I , c'est-à-dire le produit par \/ — i de l'aire enveloppée par l'anneau CMDM'C].

D'un autre côté, le chemin CMDM'C pouvant être considéré comme une déformation du chemin constitué par une conjuguée fermée, les intégrales prises le long de l'un et l'autre seront égales^ donc le contour ClMDM'C, constitué comme on l'a dit, enveloppera une aire égale à celle d un anneau fermé de conjuguée compris entre les mêmes branches de la courbe réelle.

Si les deux parties CMD et CM'D n'étaient plus for- mées de points imaginaires conjugués deux à deux, l'iu- légrale [)rise le long de CMDM'C n'en resterait pas moins l'une des périodes de fvd.r. mais elle n'aurait

( 77 )

j)lii-< une représentation géoniétrit|iU! simple parce (jne S, n aurait pas la nièiiK; valeur dans 1 et dans 1', et que, d'ailleurs, les aires S et S' qui entrent dans I ne seraient plus les mêmes que celles qui entrent dans ï .

Des ])ériodes ciigendrces dans le parcours des an- neaux fermés de l'enveloppe i/naginai/e des conju- guées. — Il pourra se présenter trois cas distincts : le premier où l'un des anneaux fermés étant constitué par des points [.r = a -h 3 \ — i , j- — a'+ [i' y — i], les points imaginaires conjugués de ceux (jui constituent le premier, [j- = y. — 3 y — i , j' = a' — |B' y — i ] , for- meraient un auti-e anneau (crm('', separ(' du piemicr. C'est ce qui airive dans le lini

[(r — a — b ^/^y^{r ~a — b' y'^~i)' ~ (/• -^ ,-' v/^ l']

x\(x -- a -- b \/- i)'-- [y — a- b' \' -- i)^— ' '■ — r \l ~ i )]" =

où l'enveloppe imaginaire présente les tlcux anneaux fermés, conjugués, repiésentés en coordonnées réelles par les i-quations

{x — a — b)--^ { y — a — 6' )2 =r i /• ^ /•' )2 et

(x — a -t- b )- -^ (y — a' — b' i^ = ( /• — /•' )2.

11 pourra ariiver aussi que l'enveloppe imaginaire, fermée, se compose de points imaginaires conjugués deux à deux, mais de telle façon que cette enveloppe ne touchant pas la courbe réelle, qui pourra d'ailleurs ne pas exister, les deux suites de points imaginaires conjugués, qui constitueiont cette enveloppe, ne se re- joindront jamais, de sorte que le premier point de la première partie de l'enveloppe coïnciderait avec le der- nier point de la seconde paitie et le dernier point de la première avec le premier de la seconde. C'est ce qui

( 7« ■' arrive, pai- cvcmple, dans le cas dr \'v\\\\>sc iiiiagiiiaiic

/ji

Rntni, si les deux j>a[lies de l'anneau considéré, de l'enveloppe imaginaiic, se rejoignaient sur la courbe réelle en deux points d'inflexion de celte courbe, les points iniaginairi's conjugués, qui constitueraient l'an- neau de l'enveloppe, se rejoindraient aux deux points d'inllexion.

Dans le premier cas, les valeurs de l'intégrale J'j fh., prise successivement le long des deux; anneaux consi- dérés, seraient re|)résentées par

S + S' S - S' /—

J = 2bi 1 ^ —

et par

1'= '^S,

S -^ S' s — S'

v/"

s,, s et S' ayant les valeurs déiinies plus haut. Ainsi, par exemple, dans le cas du lieu

{.T — a — b /— \)' + {y — 'i' — b' \J — \f = (/• + /■' y/ — I )",

le lieu des points milieux des cordes joignant les points imaginaires conjugués des enveloppes des deux lieux

{x — a — b /— [)■+ (j — r/'— b' y/— i)-= (/•+ r' ^— i)'"' et

(.r — a-\-b v/^)"-t- {y — a' ^ b' sf^Y = {'' — r' \/^)^ sera, comme on l'a vu, la circonférence du cercle

(a — (7)2+ (a' — «')2= .'--î,

{ 79 » de sorlo (jut! S, aura pour \alciir

-/■- ;

d un auliL- côté, les deux euvel()[)pes ayauL pour équa- tions, en coordonnées léelles,

(x — a — b)--^ (j' — a' — ù' )-== ('" -^ /"')- et

(x — a -^ hy-T- (y — a' -r- b' )-= ( r — /•' /-,

S aura pour valeur -(/•-!-/■')"-, et S' aura jiour valeur La loi'inule

donneia doue, pour valeur de la période de l'inlé- grale fjdx. relative au premier lieu,

coninie on devait s'y attendre. La période, dans ce cas et tous les autres analogues, sera en partie réelle et eu partie imaginaire.

Dans le second cas, les deux parties de l'enveloppe imaginaire, qui contiendront les points imaginaires coJi- jugués deux à deux, se faisant suite l'une à l'autre, de manière cjue le dernier point de Tuu des deux arcs coïn- cide avec le premier point de 1 autre, l'intégrale J'ydx, prise le long de l'anneau formé par l'envelopjjc, aura pour valeur la somme des deux intégrales I et L; c'est- à-dire

4S,-(S + S').

La période sera donc réelle et égale à l'aire de l'an-

( 8o ) neau diminuée de qualie toi.s 1 aire du segment corie.s- pondant au lieu des milieux des cordes joignant deux à deux les points imaginaires conjugués de l'anneau de l'enveloppe.

Toutefois, il pourra, je crois, arriver que le lieu des milieux des cordes réelles en question, ne présentant qu'un seul arc, dans l'intérieur de l'anneau de l'enve- lop[)e, et cet arc devant être parcouru deux fois, en seus contraii"es, lors des formations îles deux intégrales I el F, les aires aS, et — 28), (jue devraient contenir I et ]'. disparaîtraient de la sonnne I -;- 1'.

Dans le cas de rdlipse imaginaire — • -h",, 4- i = o^ ^ " a- b-

8, est nul de lui-même, parce (|ue toutes les cordes

réelles de l'enveloppe imaginaire ont leurs milieux à

l'origine, et il reste seuli-ment. pour 1-4-1'. l'aire de

1 ellipse réelle — ; -h '1-^ — 1 =r o. liomothétique à rellij)S(î imaginaire.

Dans le dernier cas, l'intégrale rentrera dans le cas général d'une intégrale, prise le long d'un chemin fermé composé d(.' points imaginaires conjugués deux à deux, qui se rejoindraient sur la courbe réelle : cette intégrale aura, comme ou l'a vu, pour valeur le produit par y — i de l'aire enfermée dans l'anneau de l'enveloppe imagi- naire.

14. De la manière la plus générale dont s'engen- drent les périodes correspondant aux pai'cours des an- neaux fermés de l'une des deux enveloppes . — Il n'est pas nécessaire que le point décrivant [x, j ] passe même une seule fois sur l'un de ces anneaux, pour que s'en- gendre la période qui correspondrait à son parcours. En efî'et, soit AMB^ix\ ( /ig. 16) l'un de ces anneaux : sup- posons que les deux limites [.Tq, 1 o]? [-^j J ] ^^ l'inté-

( 8i ) gralc fydx .ipparlicmieiil ;"i deux conjuguées CD, CI)', tangentes en D vX D'à l'anneau AMHNA, et représen- tent les points C et C des denx conjuguées : l'intégrale fydx^ à la dillérence près des expressions algébriques des aires des triangles inlioduits par les cliangenients de direction de l'axe des j' en C, D, D' et C, se composera de l'aire, en partie réelle et en partie iniaginaije, du segment de la conjuguée CD, compris entre l'are CD, l'axe des x el les cordes réelles d(; la conjuguée CD,

\'ï\i. i6.

menées en C et en D ; de la valeur de l'intégrale fy dx, prise le long de l'arc DD' de l'enveloppe; enlin, de l'aire, en partie réelle et en partie imaginaire, du segment de la conjuguée D'C, compris entre l'arc D'C, l'axe des Jc et les cordes réelles de la conjuguée D'C, menées en D' et C.

Si, la limite inférieure [xo, j'o] restant fixe, la limite supérieure [x, i'] se transportail de C en C" sur la con- juguée C"D", la première partie de l'intégrale resterait lixe, la seconde s'accroîtrait de la valeur de l'intégrale fydx^ prise le long de l'arc D'D" de l'anneau considéré de l'enveloppe, enfin la troisième varierait en raison de la substitution de l'arc D"C' h l'arc D'C.

Supposons maintenant que, la limite supérieure con- tinuant à se mouvoir dans le même sens, le point D" s'avance sur l'are DjN D'D"BMAD, de façon à rejoindre à la lin le point D, en même temps que le point C" re- M. G

CÎTB

»^M

( 8. ) viendrait au point C, 1 accroissement total de l'intégrale fj- dx se réduira à la valeur de l'intégrale prise le long de l'anneau D^BMx\D de l'enveloppe.

C'est de cette façon, en général, que s'engendrent les périodes relatives aux parcours des anneaux fermés des deux enveloppes.

Au reste, le multiple, sous lequel chaque période devra entrer dans la valeur de l'intégrale, sera marqué par le nombre de fois que la limite supérieure aura passé suc- cessivement et dans le même ordre sur toutes les conju- guées tangentes à l'anneau correspondant.

15. De la manière la plus générale dont s^engen- drent les périodes correspondant aux parcours des an- neaux fermés des conjuguées. — jNous avons vu que le produit par ^ — i de l'aire enfermée dans un anneau, composé de points imaginaires conjugués deux à deux, qui se rejoigni'ut sui- les deux brandies de la courbe réelle entre lesquelles sont comprises des conjuguées fermées d'une même catégorie, constitue une période égale à celle qui s'engendrerait dans le parcours d'une de ces conjuguées fermées; mais, comme nous l'avons éga- lement remarqué, il n'est pas nécessaire, pour que la même période s'engendre, que les deux arcs de lanneau fermé, qui ont leurs extrémités sur les deux branches de la courbe réelle, soient composés de points imaginaires conjugués deux à deux. En effet, si AMB^A {fig' 17) est tel que les points de AMB et de AjNB soient deux à deux imaginaires conjugués, on pourra toujours, d'après le tliéorème de Cauclij, substituer au chemin BiN A, par exemple, un auti-e chemin voisin BjN'A, ce qui n'alté- rera pas l'intégrale, et le chemin x\iMBN'A ne sera plus conq)osé de points imaginaires conjugués deux à deux ; la valeur de l'intégrale, le long de ce nouveau parcours

I

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.J2flnBBKlKNHKB00a[iaDCiccoaDDCwo«Hz^Lfvi.--

( 83 ) AMBZS'A, n'en icslera pas moins égale au pioduil pai' y/ — I de l'aire eiilourée par une des conjuguées fermées 5

FiK. I-.

' loule la didérencc sera que celle valeui" de Tintégrale n'aura plus une relalion simple avec les aires des seg- menls coirespondants aux arcs AMB et AN'B.

C'est ainsi, généralement, que s'engendrent les pé- riodes qui représentent les produits par y/ — i des aires enveloppées par les anneaux fermés de conjuguées.

Quant au multiple entier, sous lequel chacune des périodes de co genre devrait entrer dans la valeur de

iMg. iS.

l'intégrale, il se comptera par le nombre de fois que le chemin suivi par le point mobile [x, y] aura successi- vement touché les deux branches de la courbe réelle, sans rebroussement ; car, si le chemin ne se fermait pas, comme dans le parcours AMBjN'A' (fig- 18), la période imaginaire n'en serait pas moins complète, puisqu'en fermant le parcours, par l'addition du chemin A'A, on n'ajouterait rien à la [)artie imaginaire de l'intégrale.

( 82 ) viendrait au point C, 1 accroissement total de 1 intégrale fydx se réduira à la valeur de 1 intégrale prise le long de l'anneau D?sBMAD de l'enveloppe.

C'est de cette iaçon, en général, que s'engendrent les périodes relatives aux parcours des anneaux fermés des deux enveloppes.

Au reste, le multiple, sous lequel chaque période devra entrer dans la valeur de l'intégrale, sera marqué par le nombre de fois que la limite supérieure aura passé suc- cessivement et dans le même ordre sur toutes les conju- guées tangentes à l'anneau correspondant.

lo. De la manière la plus générale dont s'engen- drent les périodes correspondant aux parcours des an- neaux fermés des conjuguées. — Nous avons vu que le produit par y — i de l'aire enfermée dans un anneau, composé de points imaginaires conjugués, deux à deux, qui se rejoignent sur les deux brandies de la courbe réelle entre lesquelles sont comprises des conjuguées fermées d'une même catégorie, constitue une période égale à celle qui s engendrerait dans le parcours d'une de ces conjuguées fermées^ mais, comme nous l'avons éga- lement remarqué, il n'est pas nécessaire, pour que la même période s'engendre, que les deux arcs de l'anneau fermé, qui ont leurs extrémités sur les deux branches de la courbe réelle, soient composés de points imaginaires conjugués deux à deux. En effet, si AMBPSA {Jig. 17) est tel que les points de AMB et de ANB soient deux à deux imaginaires conjugués, on pouria toujours, d'après le théorème de Cauchy, substituer au chemin BiNA, par exemple, un autre chemin voisin BIN'A, ce qui n'alté- rera pas l'intégrale, et le chemin AMBN'A ne sera plus composé de points imaginaires conjugués deux à deux; la valeur de l'intégrale, le long de ce nouveau parcours

( 8'^ ) AMBA'A, n'en leslcia pas nioins égaie au pioduit par

y/ — I de l'aiie enlource [)ai' une des eonjuguées fermées 5

toute la dillérence sera que eette valeur de l'intégrale n'aura plus une relation simple avec les aires des seg- ments coriespondants aux ares AMB et AiN'B.

C'est ainsi, généralement, que s'engendrent les pé- riodes qui représentent les produits par y/ — i des aires envelop[)ées par les anneaux fermés de conjuguées.

Quant au multiple entier, sous lequel cliacuiie des périodes de ce genr(^ devrait entier dans la valeur de

Fis. 18.

l'intégrale, il se comptera par le nombre de fois que le chemin suivi par le point mobile [x, y] aura successi- vement touché les deux branches de la courbe réelle, saiis rebroussement ; car, si le chemin ne se fermait pas, comme dans le parcours AMBjN'A' {fig. 18), la période imaginaire n'en serait pas moins complète, puisqu'en fermant le parcours, par l'addition du chemin A' A, on n'ajouterait rien à la partie imaginaire de l'intégrale.

JE 'IT' i

CfED

»"»

( 81 )

16. Sur une forme i^éoinélriii lie singulière cfue peu uent affecter les périodes engendrées dans le parcours d'une des enveloppes. — Cliacune des périodes imagi- naires, engendrées dans le parcours des conjuguées, a toujours une iiitinilé de représentations géométiiques, sous la form(; des aires des anneaux fermés de ces con- juguées; tandis que les périodes, engendrées dans le par- cours de l'une ou l'autre enveloppe, n'eu ont jamais qu'une cliacune; doù il lésuîte que les premières sont toujours beaucoup mieux leprésentées cjue les autres.

Parmi les formes géométriques des périodes de la pre- mière espèce, il s'en trouve toujours de singulières : ce sont celles des anneaux c[ui dégéiièrent en brandies in- finies, lorsqu'on fait lendie la caractéristique de la con- juguée vers le coeflicieut angulaire de l'une des asym- ptotes aux branches de la courbe réelle qui comprennent entre elles les anneaux de ces coniuiruées.

On pourrait toujours éviter la considération d'une conjuguée ainsi déformée, puisqu'on aurait à sa disposi- tion une inlinité d'autres anneaux fermés se prêtant beau- coup mieux, par exemple, à une quadrature approchée.

Jl n'en sera naturellement plus de même si c'est l'une des périodes engendrées dans le parcours de Tune ou l'autre enveloppe, qui se présente sous une forme géo- niétiique singulière, puisqu'il n'en existera pas d'autre représentation. Il importe donc de pouvoir reconnaître ces périodes sous leur figure exceptionnelle.

Mais nous donnerons d'abord un exemple de ce qui

ient d'être dit : considérons 1 intégrale / — ^^^z^ qui

r, fjiïurée en

VI

donne Taire (h- la courbe J' =

' IJ/ A // U" A III Wii

\l X- — I

A BA' IV A"B" A'"IV"; cette courbe est du quatrième degré, si on lui mène deux tangentes parallèles en M et en M',

'jDfi

-mj^

^Z^w^'^-'^--^

.*_:, %

( «5 ) une droite quelconque parallèle à ces deux tangentes et comprise entre elles, ne coupera la courbe réelle qu'en deux points; il se trouvera donc, entre ces deux tan- gentes, un anneau fermé de la conjuguée, dont la carac- téristique serait le coefficient angulaire des deux tan-

Fie;.

gentes. Le produit par y^ — i de Taire, enfermée dans cet anneau MjN M'jN', sera une période de l'intégrale.

L'anneau MjNM'IS' s'allongerait indéfiniment si la direction commune des deux tangentes tendait à de- venir parallèle à l'axe des y et, à la limite, cet an- neau dégénérerait dans la courbe à branches infinies CDEE'D'C, dont l'équation en coordonnées réelles

serait

I

r

s/i^

de sorte que l'aire MNM'N' se transformerait dans l'aire égale, comprise entre les deux branches CDE, C'D'E' et leurs asymptotes CC et DD'.

Considérons maintenant l'intéerale

/

dx

v^y

limites étant supposées les mêmes de part et d'autre, les deux intégrales auront les mêmes valeurs, au facteur

€""«

«Tit

ar'sâ'^

( 84 )

l(i. Sur une forme géométrique singulière que peu uent affecter les périodes engendrées dans le parcours d'une des enveloppes. — Chacune des périodes imagi- naires, engendrées dans le parcours des conjuguées, a toujours une infinité de représentations géométriques, sous la forme; des air«;s des anneaux fermés de ces con- juguées ; tandis que les périodes, engendrées dans le par- cours de l'une ou lautre enveloppe, n'en ont jamais qu'une chacune; d où il résulte que les premières sont toujours beaucoup mieux représentées que les autres.

Parmi les formes géométriques des périodes de la pre- mière espèce, il s'en trou\e toujours de singulières : ce sont celtes des anneaux ((ui dégénèrent en branches in- finies, lors([u'on fait tendre la caractéristique de la con- juguée vers le coefticient angulaire de l'une des asym- ptotes aux branches de la courbe réelle qui comprennent entre elles les anneaux de ces conjuguées.

On pourrait toujours éviter la considération d'une conjuguée ainsi déformée, puisqu'on aurait à sa disposi- tion une infinité d'autres anneaux fermés se prêtant beau- coup mieux, par exemple, à une quadratuie approchée.

Jl n'en sera naturellement plus de même si c'est l'une des périodes engendrées dans le parcours de Tune ou l'autre enveloppe, qui se présente sous une forme géo- métrique singulière, puisqu'il n'en existera pas d'autre représentation. Il importe donc de pouvoir reconnaître ces périodes sous leur figure exceptionnelle.

Mais nous donnerons d'abord un exemple de ce qui

/dx ■—== qui

donne Taire de la courbe y = —^ , figurée en

\/.r'- — i

A B A' IV A" H" A'" B"'; cette courbe est du quatrième degré, si on lui mène deux tangentes parallèles en M et en M',

( ^^^ )

une droite quelconque parallèle à ces deux tangentes et comprise entre elles, ne coupera la courbe réelle qu'en deux points; il se trouvera donc, entre ces deux tan- gentes, un anneau fermé de la conjuguée, dont la carac- téristique serait le coelïicient angulaire des deux tan-

gentes. Le produit par y^ — i de Taire, enfermée dans cet anneau MNM'JN', sera une période de l'intégrale.

L'anneau MNM'N' s'allongerait indéfiniment si la direction commune des deux tangentes tendait à de- venir parallèle à l'axe des y et, à la limite, cet an- neau dégénérerait dans la courbe à branches infinies CDEE'D'C, dont l'équation en coordonnées réelles serait

r

v/i

de sorte que l'aire MNM'N' se transtormerait dans l'aire égale, comprise entre les deux branches CDE, C'D'E' et leurs asymptotes CC et DD'.

-7=^^= : les

limites étant sup[X)sées les mêmes de part et d'autre, les deux intégrales auront les mêmes valeurs, au facteur

( 86 ) y — i près; si la période de la piciuière est le produit par y- — I de l'aire CDEE'D'C, celle de l'autre sera égale à cette même aire considérée comme réelle.

iMais la période imaginaire de la première intégrale aura une infiiiité de représentations géométriques, tandis que la période réelle de la seconde n'en a qu'une, exceptionnelle.

L'intégrale / ' est arcsinx, dont la période

,7 \/| — a-2

est 2~: et 2- représente l'aire CDEE'D'C ou celle qu'enveloppe l'anneau MNM'N'N.

17. Condition pour que V aire comprise entre une branche de courbe et son asymptote soit finie. — Les considérations précédenl(;s nous amènent à rechercher la condition pour que l'aire comprise (Mitre une courbe et son asjmptote soit finie.

Supposons qu'on ait pris l'asymptote pour axe des j'; l'équation de la courbe, supposée résolue par rapport à >', sera

Zi[x) ne devenant ni nul ni infini pour x = o. L'intégrale quadratrice de la courbe sera

/

o{x) dx

et l'aire de la courbe, com[)rise entre cette courbe et sou asymptote, sera

cp ( ip ) dx

J

x^

£ étant aussi petit qu'on le voudra.

o[x) ne variera qu'infiniment peu de o à £ : on pourra

( 8- ) donc le remplacer par 'i(o) = A, par exemple; 1 iiilé- gral(! se réduira ainsi à

Si I — a est positif, ou si <j. est moindre que i, l'inté- grale aura pour valeur

A o

et restera finie, tandis rpie si i — a est négatif, ou si y est plus grand que i, l'intégrale acquerra une valeur

cl-a

K-

et croitra indéfiniment.

On sait du lesle, par l'exemple de 1 hyperbole du second degré, cpie, si a = i, l'intégrale prendra une valeur infinie.

La condition pour (jue l'aire reste finie est donc

a < I.

C'est ce qui arrive pour chacune des asvmptotes des deux courbes, conjuguées l'une de l'autre.

cl y = -—

v/i — X-

La condition peut s'exprimer sous une forme préfé- rable : elle signifie que

x'-J-

doit tendre vers o pour x = o.

Mais X, dans ce qui précède, représente la distance

( 88 ) d un [)()iiil (le la tourbe à 1 asymptote et ^ '. représente

l'oidonnée de la courbe*, or, si l'on fait intervenir un cliangenient d'axes, la distance d'un point de la courbe à son asymptote changera simplement d'expression, et quant à l'ordonnée, restée infinie, du point de la courbe, elle sera simplement multipliée par un rapport de sinus, de sorte que si, dans un système d'axes, le produit de l'ordonnée, devenue inlînie, d'un point d'une branche indélinie d'une courbe, par la distance, évanouissante, d'un point de cette branche à son asym[)tote, tend vers zéro ou croît indétiniment, il en sera de même dans tout autre système d'axes.

On pourrait donc, les axes étant quelconques et l'équation de l'asymptote à la branche de courbe con- sidérée étant y — ex — d=o, se borner ta évaluer la limite vers laquelle tendrait le produit

yiy — c.T — d),

lorsque x croîtrait indétiniment : l'aire comprise entre la courbe et son asymptote serait iînie ou iatinie, selon que la limite trouvée serait nulle ou infinie.

INIais, loisqu'il s'agit d'une courbe algébrique, la con- dition peut recevoir une expression géométrique très simple et dont l'existence sera toujours facile à vérifier.

L'équation d'une courbe algébrique ayant pour asym- ptote l'axe des T est dé la forme

-fyin-i _^_ (ax- -+- bx -^ c)y"'---{-. . . = o:

il s'agit d'exprimer la condition pour que le produit de X tendant vers zéro par y devenu infini tende vers

zéro. Posons x)' = z, d'où y = -? la relation entrer

' -^ X

( «9 ) et j: sera

c'"-i-i- (a.r2-r- bx -hc)z»'-^

-t- (r/.r''4- ex^-Jn fx -+■ ff)xz"^-^-\- . . .= o.

C(!tte éfjualion, pour .r = o, a toujours au moins (m — 2) racines nulles, qui sont les produits des (m — 2) valeurs (inies de y par x devenu nul: la der- uièie est c. Ainsi, pour (jue le produit de o: = o par )■ = ce soit nul, il faut que c = o, e'est-à-dire que l'asYniptole coupe la courbe eu tiois points situés à l'inlini.

Telle est la condition générale pour que l'aire com- prise entre une courbe algébrique et sou asymptote soit linie.

JNIais cela suppose que la courbe n'ait pas d'autres asymptotes ])ara Hèles à celle que l'on considère. Dans le cas contraire, on trouverait par le même calcul qu'il faudrait (jue 1 asymptote considérée coupât la courbe à l'intini en un nombre de points égal à 3 + le nombre des asymptotes parallèles à la première.

Corollaire. — Dans l'exemple qui nous a servi précé- demment, des deux courbes r = -^=^=z et v-

\/ \ — x- " \/x- — I

conjuguées l'une de l'autre, les quadratrices avaient la même période, réelle dans l'une et atfectée du signe \J — i dans l'autre. Le fait est évidemment général, parce que si une Cf)urbe a pour conjuguée une autre courbe, récipro(]uement, la seconde a pour conjuguée la pre- mière, et les anneaux fermés réels de lune se retrouvent imaginaires dans l'autre.

Heniarqiie. — 11 ny aurait pas lieu de rechercher des périodes imaginaires dans les aires des conjuguées qui ne toucheraient cpie l'enveloppe imaginaire, parce que ces conjuguées ne pourraient pas présenter d'an-

( 90 ) iieaux fermés. En ellet. on ne pourrait tnùtne pas leur mener de tangentes parallèles à leurs cordes réelles, car le point de contact d'une pareille tangente réunirait deux points imaginaires conjugués et serait, par con- séquent, réel, c'est-à-dire appartiendrait à la courbe réelle.

18. Des périodes cycliques ou logaritluuiques. — Il nous reste à parler d'une classe particulière de périodes, dont la théorie et la génération n'ont rien de particu- lier, mais qui s'expriment, dans tous les lieux, d'une façon exceptionnelle très simple. Ce sont les produits par y — i des aires d'anneaux fermés qui se séparent des conjuguées auxquelles ils appartiennent, lorsque les caractéristiques de ces conjuguées tendent à venir se confondre avec les coefficients angulaires des asymptotes du lieu.

Si une as\mptote d'une courbe algébrique de degré ru coupe la courbe en (/?/ — 2) points à distance finie, les deux branches correspondantes de la courbe se trouvent de part et d'autre de l'asymptote et la touchent à l'in- fini à ses deux extrémités opposées. Ces deux branches présentent chacune un certain nombre de points d'in- flexion, à partir du dernier desquels chacune des branches ne formera plus qu'un arc dont les points se rapprocheront de plus en plus de l'asymptote. Si l'on conçoit à ces deux arcs terminaux deux tangentes paral- lèles, très peu inclinées sur la direction de l'asymptote, une parallèle quelconque à ces deux tangentes, et com- prise entre elles, coupera le lieu, à distance finie, en des points infiniment peu éloignés de ceux où l'asymptote elle-même coupe déjà ce lieu à distance finie, c'est-à-dire en m — 2 points. ÏNlais il en manquera deux, situés à des distances plus ou moins grandes; d'où il faut conclure

( 9- ) que les deux laiigentcs comprendront entre elles un an- neau de la conjuguée ayant pour earactéristic|ue leur coeflicient angulaire commun, anneau d'ailleurs com- plèlenient isolé des autres branches de la même conju- guée. Le pioduil par y/ — i de l'aire de cet anneau fermé sera une des périodes de la quadratrice de la courbe 5 c'en sera une période cyclique.

Tous ces anneaux ont même aire : le fait n'a pas be- soin d'une nouvelle démonstration; mais à la limite ils deviennent des ellipses, dont l'aire constante peut être évaluée. Ces ellipses recouvrent deux fois l'asymptote, comme si l'équation de la courbe était du second degré et repi'ésentait une livpcrbole.

En ed'et, si l'asymptote en question a été prise pour axe des y et que l'équation de la courbe soit

;rj'"- ■ -i- ( a .r~ -{- h.r -^ c ) j''«-2 -^^ . . . ^^ o,

on a vu que le produit de x, tendant vers zéro par >' devenu infini, a pour limite — c. Cela signifie que les deux brandies de la courbe, asymptotes à l'axe des y, tendent à se confondre avec l'hyperbole du second degré

et, par conséquent, que l'une des conjuguées du lieu tend à se confondre, dans une de ses parties, avec une conjuguée de l'hyperbole œy = — c. La coïncidence n'a lieu, il est vrai, que lorsque les cordes réelles de la con- juguée sont devenues parallèles à l'asymptote ; mais, à ce moment, l'anneau considéré de la conjuguée devient une ellipse indéfiniment allongée et indéfiniment apla- tie; d'un autre côté, faire enveloppée par cet anneau, tout en changeant de figure, a conservé la même valeur ; on peut donc prendre pour cette valeur celle de l'aire

( 9^ ) de lellipsc, laquelle est d= 2-c, de sorte que la période est

± ITiC \/ 1.

19. Relation entre les ni périodes cycliques d'un lieu de degré m. — La quadraliiee d'une eourbe de degré m a, en général, m périodes cveliques; mais ees périodes ne sont pas indépendantes.

En elï'et, soit

{y — aix — bi){y ~ GiX — b.2). . .(j- — «,„r — 6,„)

l'équation de la courbe :

Si Ton voulait rendre nulle la période cyclique rela- tive à l'asymptote y — a^ x — è, = o, il faudrait faire en sorte que cette asymptote coupât la courbe en m — 3 points seulement à distance finie; mais, en éliminant j) entre l'équation de la C3urbe et Y = a^x-\-bi^ on trouverait

•im-2

t, «1 H -) -t-r'"-3. .

de sorte que pour faire disparaître le terme en x"'~'-, il faudrait faire en sorte que C3,„ 2('') '^i) fût nul.

On pourrait bien ainsi faire disparaître m — 3 pé- riodes cycliques en posant

mais, pour en faire disparaître encore une, il faudrait faire k = o, et alors la dernière disparaîtrait aussi.

Ainsi les m périodes cycliques de la quadratrice d'un lieu de degré ni sont nécessairement liées entre elles par une relation telle que, si m — i d'entre elles sont nulles, la dernière l'est aussi.

(93 ) d'Ile rc'l;ilioii consisle i;ii ce ([uc hi somme des périodes cj cliques est toujours nulle, poiiivu, bit'u en- tendu, qu'on en tire les expressions d'une même for- mule générale; car, autrement, chacune d'elles pouvant

rece\oir le double signe ± \/ — i, la somme totale ne serait [)as déterminée.

Remarcpions d abord que, si l'équation de la courbe a été mise sous la forme

L(a" — /? tj>"«-i-!- ( M.r'H- \3--f- V ) yn-^ _t-. . .= o,

les axes faisant entre eux un angle a, la période cyclicpie relati\e à l'asymptote x = // sera exprimée par

2-(M A--i- \ A -+- P )sin a /

L ^/-'-

Cela posé, soit, eu coordonnées rectangulaires,

(y — a,r — bi)(y — a^x — 6., ). . .(y — amX — 6,„)

l'équation de la courbe : reiulons Taxe desj parallèle à l'asymptote 1' = <^/, .r H- /?,, sans changer l'origine, ni l'axe des .r, les formules de transformation seront

X = x' -^ y coiti t!t j- = j^'sin2i,

y-i désignant l'angle dont la tangente est a, . La substitution donnera

( — ciix' — 6i)[^'(sinai — a-ico^-xi) — a^x' — ^o]- • • x[y(sina, — rt,„cos a, ) — «„,, r'—6,„]

+ 'im-i {t' -^y' cosaj. >''sinx, ) -h. . . = o;

en conséquence, le coefficient de x'j'"'~^ sera

L = — a, cos'"-' 'Xi( ai — a.,) {ai — «3). . .( «, — a,„).

( y4 )

Quant au ternie enj''" -, qui provit'udrait de

( — ciiX' — ùi ) [y{ sin y.i — rt, C'"'^ '^i — a-^x' — b^]. . . X [ j'(sin a, — a,n cos a, ) — «,„ x'— b,„],

il disparaîtrait de lui-même, (juaiKl on y ferait

OlX'-T~ 6] = o,

il sera doue inutile de le transerire.

Il reste à elierclier la partie utile du eoeflicient de

!s,„_2(x'-^ y' ces a,, y siiiaj ).

Ce coefficient est simplement

o,„_2icosai, siiiai ),

ou, à cause de l'iiomogénéité de cette l'onction,

cos'"-23:,cp,„_2(i, ai).

J^a période cyclicjue relative à l'asymptote

y — r/ 1 .r — 6 , =0 est donc

■?.- \J — I cos'"-2 5(j<^^^^_,(j^ a^ ) sincZ] — rti cos'"-^ 2ii «I — Oo ) ( rt] — «:j I. . .( <^ïi — a,n)

OU, simplement.

I «I — «a)(rti — a-i). . .(«i — (/„, )

Les autres s'exprimeraient de la même manière.

Mais un polynôme de degré {in — a) est déterminé par (m — 1 ) substitutions et, d'après la formule de Lagrange,

( rt — «0 )( rt — «3 )...( rt. — a,n-\ )

o„,_,(i.a)= 0/„_9(i,ai) ^T ;

(ai— a2)(ai — «3). ..(«1 — a,„_i)

(a — rti) {a — «3 I. . Aa -— a„i--x )

(«2— Oi )(«2 — ^'s). . .( a, — a,„_i)

[a — «1 ) . . . ( rt — ««!-=> )

!< I. (l,n~\ ^ ^ ■ = ;•

-»m-2(l, «2)

( 9^> ) Ivi remplaçant, dans celli; idcnlik-, a par a,„, il vient

(«,„ — a.,). . .(«,„ — «,„_, )

0„,_2 ( I . rt,„ ) = cp,„_i ( I , «! )

■'■?/;(-2(l; «m-l) 7

(a, — a.,)-. .(«1 — «/«-i)

( a,„ — «/)...( a„, — a„,-i )

(«2 — «ij. . .(a, — a,„-i )

(a,„ — a, ). . .( a,„ — a,„_2 )

ou, eu multipliant les deux termes de la première frac- tion du second membre par («i — a,^), les deux termes de la seconde par [a., — a,n)^ ..., divisant les deux membres par

{a,n — «1 )(«,„ — a,;. ..{a,„ — a,„_i),

et, faisant tout passer dans le prenai(;r meni])re,

'f/«-2(i,«r) _

2

(«1— (li)-- .{ai — a„i) (f,„_2('i. ai)

1

C. Q. F. D.

20. rnÉORÈME. — Les périodes 07 c/if/iies de In qua- dratrice d'une coiirhe algéhriijue de degré m sont (es produits par a 7: y — i des racines d'une éif nation algé- brique de degré /;?, manquant de second ternie, et dont les coefficients sont des fonctions lationnelles de ceux de l équation de la courbe.

Eu ed'et, soit 2-^ — i R l'une des périodes cycliques, R est donné par la formule

'^«-2(1, «I

Il = ; ?

a désignant le coeflicient angulaire de 1 une des asym-

( 9^ ) ploies, racine Je l'équalion z,„i(^a)=^ o, de sorte (jue les valeurs de R seraient les racines de l'équation qu'on ob- liendrail en éliminant a entre les écjualions

11= p et o,i,(a) = O.

?„,(«) ■ '

Mais les coefficients de ^/«.^(i, a) ne sont pas expli- cités dans l'équation de la courbe ; car, dans ce qui pré- cède, c5,„_o(x, j) désigne; la dillérence entre l'ensemble des termes de degré (/?? — 2) du premier membre de l'équation de la courbe, lesquels seuls sont connus d'avance, et l'ensemble des termes de degré (7?z — 2) du pioduil

(y — Oix — bi){y — aox — h,). . .{ y — a,„x— b,n)-

Mais l'expression générale d'un terme de degré (m — 2) de ce produit est

bibiiy — a:iX){y — a!,x). ..(y — a,„x) OU

cp,„_i(i, «i)5f,„_i(i,a,)

?/«(l,«l)?/«(l7«2)

(y —a3x)(y — a.,x)...(y — a,„x),

'J/«_i(x,j) ) désignant l'ensemble connu des termes de degré {m — i) du premier membre de ré(|ualion de la courbii, telle qu'elle est donnée, de sorte que l'ensemble des termes qiu; l'on cliercbait est

Y o„,-i(i.ai)o.,,-i (1,^-2)

Or les coeflicnents de cette fonction de x et dej seront des fonctions svmétri(|ues de r/.,, a^, ...^a„,\ ils s'expri- meront donc rationnellement en fonction des coefficients de 'j,„(jr, 1); par conséquent, les coefficients de 'J ,„_■.. {oc, y)

(' 97 ) on ci'iix i]v 'i,„_2(f j ^) s'L'X[)iiiiicr()iil aussi raliomicllf- menl «mi foiuLioii des coelliciciils doiiiiés de réfjualioii de la courLe.

Donc les coefFicienls de rt*(|iialion en 11 seront des foiielions rationnelles des coellicients de réfjuation donnée de la eouibe pioposée.

Ainsi la théorie des périodes cvclicjnes est ramenée à celle des é(]natioTis ali^ébiiques. On poiiira savcjir si la qnadratrice d'une courbe a des périodes cycliques égales, si les quadratrices de deux courbes ont des périodes cy- cliques comnjunes, etc. (*).

21. Classi/icafion d(^s (juadratrices des courbes al- péhriques d'a/)rès le nomhie et V espèce de leurs pé- riodes. — D'après la théorie qui a été exposée dans ce qui pi"écède, les périodes de l'intégrale qnadratrice d'une courbe algébrique sont représentées par les aires d'an- neaux fermés de la courbe réelle, des conjuguées de cette courbe ou de l'enveloppe imaginaire; mais les figures géométriques de ces anneaux ne dépendent pas du choix des axes : les périodes de l'intégrale quadra- trice d'une courbe restent donc toujours les mêmes, quels que soient les axes auxquels cette courbe soit 1 apportée.

jNous savons dans quelles conditions les périodes cy- cliques peuvent disparaître.

D'un autre côté, si un anneau fermé de la courbe réelle ou dune conjuguée devient accidentellement évanouissant, 1 aire qu'il enveloppait sera nulle et la quadralrice de la courbe perdra une de ses périodes.

(') Ce dernier lliéorème ne se trouve pas dans ma Théorie des fonctions de variables imaginaires ; il n'a été piililié' qu'en iS^fi, dans les Com/ites rendus des séances de l'Académie des Sciences. -M.

( 9^ ) réelle dans le piciuier cas, et imaginaire sans partie réelle dans le second.

Dans l'un et l'autre cas, il se forme dans la courbe un point double réel. C'est évident dans le premier cas et facile à voir dans le second, parce qu'un anneau fermé de conjuguée est toujours tangent à la courbe réelle en deux points appartenant à deux brandies dis- tinctes et que ces deux points doivent forcément se réu- nir en un seul [)Our que l'anneau s'évanouisse. Nous avons démontré, en eilet, que les conjuguées qui ne touclient que 1 enveloppe imaginaire ne peuvent pas présenter d'anneaux fermés.

Le fait est encore facile à constater lorsqu'il s'agit d'un anneau fermé de l'enveloppe imaginaire, composé de points imaginaires conjugués deax à deux : lorsqu'un [)aieil anneau devient évanouissant, la période repré- sentée par l'aire qu'il enxebqipait disparait, et en même temps il se foiine un point double réel, réunion de deux séries de points imaginaires conjugués deux à deux.

Enfin, b; cas, plus général, où deux périodes imagi- naires conjuguées seraient liées à l'existence simidtanée, dans l'enveloppe imaginaire, de deux anneaux composés chacun des points imaginaires conjugués de ceux qui formeraient l'autre, rentre encore dans les précédents, mais présente une particularité qui consiste en ce que les deux périodes ne peuvent disparaître qu'en même temps et par la formation simultanée de deux points doubles.

Sup|>osons, s'il s'agissait d une équation à coetlicients imaginaires

I> -^ O /-T", = o,

qu'on l'ait complétée [)ar l'addition du facteui"

( 9!) » de façon ;"i ohtciiir rr(|uaLioii

l'2_02 = „.

Les tk'ux périodes iinaginaiix's coniuguées seronl re présentées par les foi'inules

I == ^.Si 1- • y— I

et

,, ^ S + S' S-S' /

elles s'évanouiront en nième tcnnps si les anneaux dont les aiies sont S et S' se réduisent à deux points imagi- naires conjugués, parce que l'aie dont l'aire est S, se réduira alors aussi à un seul point; mais les deux points imaginaires conjugués où se S(!iont concentrées les deux suites de points imaginaires conjugués qui con- stituaient les deux anneaux seront alors deux points doubles.

C'est ce qui ai-rive, par exemple, dans le système des deux cercles imaginaiies (-onjugués, représentés par réf|uation

[(.r- rt -h sj^)--^{y-a—b' v/^)' — (r- /•' v^^)'] X \(r — a-^b \J — I ) '" -4- ( r — «'-H h' \J — i )' — (/• — /•' \/ — i ) '] = o :

Les deux périodes sont

'::(r — /•' y/— I )" et rSr — r' \l —kY \

elles ne s'annulent ni l'une ni l'autre (|ue pour /■ = o et /•' = o, mais alors le lieu acquiert deux points doubles,

II X ^= a -^ b y — I ,

( y =^ ''^ -^ b \j — ' 5 et

^ X ^ a — b y — I , I y = a — l)' y — i .

( 1"^^ )

Remarque. — Les deux périodes I et F s'évanoui- raieiît arilliinéliqueinent sans disparaîlre géoniétrique- inent si S, S' et Si satisfaisaient aux conditions

S -S'

et

S-T-S'

o;

mais ces deux condilions, tortuitement satisfaites, se- raient d'ordre transcendant.

Ces périodes peuvent souvent dis[)araitre clans des conditions analogues, sans (pie leur disparition entraîne la formation d(î points doubles, comme nous aurons occasion de le dire plus loin; mais ce u'est pas de ce genre de réduction dans le nombre des jiériodes que nous nous occupons ici. Aous cliercbons à lixer bvs con- ditions dans lescpielles la valeur (fune période devient nulle en même temps que sa repi'ésentation géomé- trique devient évanouissante; et nous trouvons que, dans tous les cas, la condition consiste en ce qu'il se forme dans le lieu un ou deux points doubles, selon qu'il s'agit de faire disparaître une période réelle, ou imaginaire sans partie réelle, ou deux périodes imagi- naires coniuiiuées.

22. Les périodes de la (juadvatrice d'une courbe algébrique peuvent encore disparaître en devenant in- finies. — Lorsqu'un anneau de la courb(; réelle se trans- forme en une branche parabolique, Taire correspon- dante devient infinie et la (juadratrice pi-rd une période, parce qu'elle n'est pins ex|)rimable.

Il en est de même lorsque Tune des deux branches de la courbe réelle, (jui conq)renaient des anneaux fermés de conjuguées, passant à Tindni. ces conpiguées devien- nent paraboliques.

(^'est ainsi (pie la (jiiadralrice d'une coniqiu.' perd sa

période cl (li;\ietil ali5ébi'i(|uc l()is(|uc celle e<)iii(|iu; se liaiislorme en paiabole. Si 1 ou eonsidère iclle parabole coiiiiue déi'ivée de l'ellipse, l'aire de celte ellipse, (pii formait la [)éiiode réelle de la qiiadratrice, est devenue inllnie et a disparu. Si, au contraire, on considère la pa- rabole comme dérivée de l'hyperbole, une des branches de cette hyperbole a passé à l'infini, l'aire connnune des conjuguées de cette hy[)erbole a grandi indéliniinent et la période imaginaire est devenue; inlinie.

Il en serait (jvidemment de même si des anneaux de l'enveloppe imaginaire d'un lieu devenaient parabo- liques.

Mais la théorie des f[uadratrices des combes [)arab()- liques ollre aujourd'hui des dillicultés inabordables.

Ces courbes présentent, avec les courbes [)Ourvues de points doubles à distance iinie, cette analogie géomé- trique que ni les unes ni les autres n'ont jamais, eu égard à leur degré, le nombre maximum de tangentes parallèles à une direction donnée, et peul-èlre est-ce là le point de vue où il faudrait se placer pour en faire l'étude, car toute réduction dans ce nombre de tangentes en amène forcément une correspondante dans h; nombre des anneaux fermés, mais il n'y a rien de fait à cet égard.

rSous ne nous occuperons donc plus des courbes para- boliques. '

Au contraire, ce que nous nous proposons est de chercher, d'abord, le nombre des périodes de la quadra- trice de la courbe la plus générale de degré di et de voir ensuite comment elle pourrait les perdre toutes succes- sivement, les coellicients de l'équation de la courbe n'étant alors liés enlie eux que par le moindre nombre possible de conditions. En d'autres termes, nous vou- lons déterminer la courbe la plus générale de di'gré /;/, dont la quadrature serait algébritpu".

( '02 )

t2»J. I) une rcchiclioii accessoire tl'ti/ie iiDUVclle iiiiilë dans le nombre des j)ériodes de la (juadrtilrice, au uionienL de la formation d'un point double à distance finie dans la courbe coriespondante . — Cette réduc- tion se produit iiécessairenieut au uioinent de la forma- tion d'un point double qui fait évanouir la représentation géométrique d'une période, parce que deux anneaux, entre les([uels était compris celui qui vient de se réduire à un poiut unique, viennent se confondre en un seul circuit, en forme dcî huit, où il n'<'st plus possible de distinguer les deux anneaux lim de l'autre, la condition de continuité obligeant le point décrivant \_x, -> ] ^ par- courir les deux boucles en avançant toujours dans le même sens.

Jl sullira d'établir le fait dans le cas le plus général, parce (jue les périodes de la quadratrice de la courbe la plus générale de degré m devant, dans tous les cas par- ticuliers, lester les mêmes fonctions des coefficients, si

Fis. 20.

1 on peut constatei-, dans un cas absolument général, que la formation d'un point double entraine la dispari- lion de deux périodes dans la quadratrice, on pourra conclun; à la même coïncidence dans tous les cas parti- culiers.

Supposons que la courbe ait toutes ses asymptotes réelles et que ce soit un anneau fermé de la courbe réelle qui doi\e s'évanouir; menons à cet anneau deux tangentes parallèles qui n'aient la direction d'aucune asymptote : les conjuguées du lieu qui toucheront l'an-

( '"^^ )

iicaii coiisidiM r* aux pf)inls dccoiilatL des deux laiigciiLes pai-allèles seront néccssairciiKîiil fcinKU's, (|iu'l(|ue loin ([u'ils s'éli'iidciit d'ailleurs, paice (|ue la couiuguée à la- qu<'lle ils appaclieudront , u'avauL pas d'asyniploles, n'aura pas de brandies inlinies; les produits par y — i des aires de ces deux anneaux ("ornicroiit deux périodes imaginaires de la quadratrice du lieu.

Mais, au inonient ou raïuieau de la courbe réelle s é- vanouira en un point isolé, les deux anneaux de la con |uguée se rejoindront au })oinl isolé et s'y eouperonl sous un angb', au lieu de s'y tourlier, de soite (|ue l(;s deux [)éri()des, précédenini(;ni distinctes, se iondiont eu une seule égale h leur dilléicnce.

Jl eu serait évideniinent de même si l'anneau qui de- vrait s'évanouir appartenait à une conjuguée et était, au contraire, compris entre tleux anneaux fermés de la courbe réelle. Seulement les deux tangentes à la courbe au point double seraient alors réelles, au lieu d'être imaginaires.

Ainsi la formation d'un point double doit entraîner une réduction de deux unités dans le nonibi-e des pé- riodes. Le même lait, au reste, se reproduirait dans les mêmes conditions si, un liuit s'élant déjà produit, il se formait un nouveau point double sur son pourtour. Seu- lement, au lieu de deux boucles, il s'en présenterait trois, en continuité entre elles.

FiÇ. 21.

Les trois boucles seraient, en tous cas, de même na- ture, c'est-à-dire toutes les trois réelles ou toutes les tiois imaginaires.

( "'4 )

Eu résumé, on doit admettre que la fbrtualiou de p points douhli'S dans uue eourhe euliaine uue rédiuti(ui de 2/> uuités daus ](; uoiubre dv.s périodes de sa qtiadra- trice.

2i. Des autres conditions dans lesquelles peuvent se pioduiie des réductions dans le nombre des périodes. — D'autres réductions peuveut être amenées parljeau- coup d'autres circonstances : ainsi uue période repré- sentée par l'aire d'un anneau (;u lorme de huit disparaîtra lorsque les aires des deux boucles seront égales; deux périodes représentées par les aires des deux auueanx fermés de la courbe réelle se réduiront à uue seule si ces aii'es sont égales, et il en sera de même si les anneaux lérmés de conjuguées, compris entre des branches dis- tinctes de la courbe réelle, présentent la même aire, etc.

C'est ainsi, par exemple, que la quadratrice de la courbe

ne comporte que deux périodes- et - \ — i, to dési- gnant l'aire de l'anneau de la courbe réelle, compris entre les droites x^±avXy=:±a. Mais aussi, dans cet exemple, la courbe réelle, ses conjuguées à abscisses et à ordonnées réelles, et l'enveloppe imaginaire de ses conjuguées se contoiideut géométriquement.

.Mais, dans ces dernières circonstances, la disparition de clia(|ue péiiode manquante tiendra à la présence d'une relation particulière entre les coefficients de l'équa- tion de la couibe, tandis que la rfdation unique qui in- troduit chaque point double entraine une réduction de deux unités daus le nombre des périodes, de sorte que, à égalité dans le nombre des périodes restantes, la courbe dont l'écpialiou contiendra encore le plus de [)aramètres

( »<'^ )

in(lr'[)cii(l;nils sfca celle [joiii' laipieile la «lisparilioii des [)érioclcs iiiaïKjiiaïUcs s(mm (lélerinii)ée cxcliisivciuciit par la (oniialioii de |)()ints doiihies en iHMnhre sullisaiit, c'esl-à-dirc eu nombre />, s'il a disparu 9./J pc-iiodes.

2o. Du nonihre maxinium de j)olnLs doubles et. du nombre niaxliinnu de j)éi iodes non cy clujues. — Si une eouiJje de dei;i(; /// st; résoul eu deux autres, l'iiue de degré (m — q)^ et l'autre; de degré «7, u'ayaiil ui l'une ni l'autre de [)oiuls doubles, le nombre des points dou- bles de la courbe composée sera

({{ m — q)\

si à son tour la courbe de degré q se résout eu deux autres, de degrés (r/ — /jet /', n'avant pas de points doubles, la courbe décomposée présentera

{m—q){q — t') — {ni — q)r-\-r(q—r) = {m — q)q-^r{q-r)

points doubles.

11 en résulte que, plus une courbe de degré ni se seg- mente en courbes de degrés moindres, n'ayant pas de points doubles, plus elle présente de points doubles.

Le nombre maxinium de points doubles que puisse présenter une courbe de degré 7?^ correspond donc au cas où elle dégénère en ni droites, et ce nombre est

ni {m — I )

Il reste alors 2 ni coelïicients indépendants dans l'équa- tion de la courbe, au lieu de

( m -{- i)( m ~ 1)

( 'oti ) les coelHcieiUs de la eourbe satisfont donc alois à

(m -^ \)( m -h -jt) m i ni — i ) i — 2 /» =

2 2

conditions.

\ r • 1 miin — \) ... . ,

-\Jais de ces contlitions. il v en a iiii — i)

(|ni expriment (|ue les vi péiiodes cycliques sont nulles, [)uisr]n'el]es le sont en ellet, et les

nU m — 1 ) , (m — i)( m — i ) — —(m — i)=

autres e\[)iinient chacune la piésenee d'un point double dans la couibe.

SI l'on supprimait les (/?^ — i) conditions qui expri- ment que les /« péiiodes cycliques sont nulles, lesquelles

1 (m — ■2)( m. — i) ...

peuvent s exjuiiner a part, les conditions

restantes expriniei'aient encore la présence d'autant de points doubles, et, les (/?? — i ) premières étant retirées, la courbe redeviendrait iriéductible.

IJone le nombre maxitnum de points doubles d'une courbe irréductible de degré /// est

(m — 1 1 ( /" — 2 >

et, par conséquent, la quadratrice de la courbe la plus générale de degré m comporte

( //i — i){/n — 2 )

[)éi iodes non cycliques; si l'on rapule les (ni — i) périodes cycliques, on obtient (/« — i)- pour le nombre total des périodes de toute nature.

On conclut de celte théorie :

i" Qu'une courbe de degré //*, qui présente

( /» — 2 ^ ( /n — I >

( "•: )

|)()itiLs (loiiMcs cl, (|no loiilcs SOS asyinploles coiiiiciir cliaciiiuî en Lrois points silucs à l'inliiii, csl (juariahle algél)ri(jueinciil ;

Qu'une eouil)e de degié ///, (|ui piésenle

{m — -?.){ ni — i) 'I,

points doubles, mais dont les asymptotes sont (juel- con(|ues, est (juarrable par les fonctions (;iieulaires in- verses ou par les fonctions loi^ar'itliniicjues ; (Qu'une courbe de deyré ///, fjui présente

( m — I ) ( m — '2 )

points doubles, est ([uorrable par les fonctions circulaires inverses et [)ar les fonctions doublement périodiques; 2° Que la courbe la plus i^énérale de degré ///, f|uai- rable algébriquement, est C(dle qui présente

{m — I ) ( m — 2 )

points doublets et (|ue ses asvniptotcs coupent cliacune en trois jioints à l'infini;

Que la courbe la plus générale dedegié ///, quarrable par les fonctions circulaires inverses, est celle qui pré-

{m — i){m — 2) . , , ,

sente l)oints tloubles:

2 ^ '

Que la courbe la plus générale de degré ///, quarrable

par les fonctions circulaires inverses et par les fonctions

doublement périodiques, est celle qui présente

(/« — \){in — :>.)

9.

points doubles, etc.

Mais il ne faudrait pas conclure, du mode de ([uadra- bilité d'une courbe, au nombre de ses points doubles.

( loS ) parce que, comme nous l'avons dit, le iiombte des pé- riodes peut se réduiie dans toutes soiles de circon- stances. Ainsi la courbe j ' -h x'' = «'' est quarrable par les fonctions à deux périodes, c'est-à-dire par les fonc- tions elliptiques, et ce[)endant elle ne présente aucun point double.

26. Détermination de la courbe la plus générale du troisième degré quarrable algébiiqueinent. — Les trois asymptotes de cette couibe doivent la coup«'r cha- cune en trois poitits situés à l'infini, par conséquent elle doit avoir trois diamètres rectilignes, respective- ment conjugués des cordes parallèles à ses trois asym- ptotes*, ces diamètres seront, d'ailleurs, les médianes du triangle des asymptotes; la courbe doit, en outre, avoir un point double, lequel ne pouria se trouver qu'au point de rencontre des trois diamètres.

Son équation, rapportée à Tune des médianes, prise pour axe des x, au point double, pris pour origine, et à la parallèle à l'asymptote parallèle aux coides conju- guées de l'axe des .r, prise [)our axe des r, est

^ = ?^l/^

3 m

a désignant la moitié du côté du triangle des asymptotes qui <^5t parallèle à l'axe des ) , et ni le tiers de la mé- .diane correspondant à ce côté pris pour base. La quadratrice est

—— { .r -^ 3 /« ) v/( T — m ){x -^ 3 m ). br>t

La courbe représentée par léquation

)/«

a X / X -I- 3 tn

y =

a la figure ci-jointe.

Je lui ai donné le nom de trèfle, à ( ause de sa forme :

louUîs ses coiijiigiu'i's, (|ui soiil du sixiômc degré, sauf le (oliuiii de Descaiies, sont égalemeut cjuarrables algé- biicjueineut. Ou sa\ait depuis longtemps que le folium était (juai Table algébi'i([ueineut , mais ou u avait pas

Kig. 22.

l'explicatioii du tait. Ou vérifiera aisément que les trois asymptotes de cette courbe la coupent aussi chacune eu trois points situés à linfiui ^ seulement deux d'entre elles sont imaginaires.

Cet exemple est très propie à faire toucher du doigt bien des choses que |'ai énoncées comme évideutes, parce qu'elles le sont eu eîlet, mais qui paraissent avoir été peu comprises.

La démonstration, entre autres, de ce théorème que" la formation d'un nouveau point double dans une courbe algébrique entraine une réduction de deux unités dans le nombre des périodes de la quadratrice, cette démon- stration d'un fait, pourtant si imprévu, n'a excité au- cun intérêt, parce que l'analyse pure ne peut pas four- nir, par elle-même, une notion exacte de la continuité et que les aualvsles cultivent généralement très peu la Géométrie.

( "o )

Il est facile de montrer combien étaient mal fondées les préventions avec lesquelles ma démonstration a été reçue.

Menons au trèlle TaT'JJ bJJ'Y c\' deux tangentes parallèles DE, D'E', dont la direction soit celle d'une droite comprise dans lintérieur de l'angle A, par exemple, du triangle BAC des asymptotes^ une parallèle à ces deux tangentes et comprise entre elles ne coupera la courbe qu'en un seul point réel; les deux tangentes

DE, D'E' comprendront donc entre elles une conjuguée du irètle ; cette conjuguée sera fermée de. toutes parts, ce qui était prévu, les trois asym[)totes de la courbe réelle étant réelles. Soit C la caractéristique de cette conjuguée ou le coefficient angulaire commun de DE, D'E'; la conjuguée C passera au point double O; les élé- ments du lieu en ce point O seront fournis par l'équation

ox 3 ni

( " ' )

les coeiricieiils angulaires des laiigciiles à la conjuguée C, au point O, seront donc, d'après une fonnule connue,

•xa'-

m v/3 _- _^_ _ G m v'3

En conséquence, les branches d«î la conjuguée consi- dérées se couperont au point O sous un angle et elles formeront une boucle en forme de huit; cette conjuguée aui-a une forme telle que celle qu'indique la ligure: si l'Algèbre entendait la continuité autrement que moi, si elle la comprenait, par exemple, comme l'ont com- prise iM^[. Caucliy et Puiseux, dans leur théorie de la séri(; de Taylor; ou si l'Algèbre considérait le chemin O^HMO connue fermé, sous le prétexte que le point mobile [jc, 7 ], parti de O, serait revenu en O, c'est- à-dire que la fonction y et sa variable x seraient en même temps revenues à leurs valeurs initiales, mais sans que les dérivées initiales et finales de tous les ordies, de la fonction j, fussent les mêmes au départ et à l'arrivée, l'intéerale

3 m y .r — /n

admettrait poui' période le produit par y — ■ i de l'aire de la boucle HMOJN H ; elle admettrait de même pour période le produit par y — i de l'aire de la boucle OiM'H'jN'O; mais, celte intégrale étant algébrique n'a pas de périodes; donc l'Algèbre entend la continuité comme je l'ai entendue partout dans la théorie de la sé- rie de Tavlor, comme tlans la théorie des intégrales.

Maintenant, pourquoi la quadratrice du trèfle est-elle algébrique, quoique ses conjuguées soient toutes fer- mées, sauf celles dont les cordes réelles sont parallèles

( ^1^ )

aux irois Jireclions asyniptoliques vl (|iii sont di's lo- liunisp C'est parce que les deux boucles de l'une quel- con(jue d'entre elles, même des trois qui sont des fb- liunis, entourent des aires égales, comme on le vérifierait aisément, puisqu'on a la foimule de quadrature et que c'est le produit par y/^ — i de la dillérence de leurs aires qui forme la période; parce que la continuité exige que les deux boucles soient parcourues dans le sens indiqué par les flèches, ou dans le sens contraire.

Quant à la raison poui' laquelle les deux aires ONIIMO et OiYH'M'O sont égales, dans le cas actuel, elle est lacile à donner : si l'on déformait infinimcnit peu la courbe, de manière, d'une part, à sup[)rimer le point double, qui serait alors remplacé par un petit anneau réel, et, de l'autre, à faire en sorte que les trois asym- ptotes cessassent d'être d'inflexion, en premier lieu, la conjuguée ONH M ON' H'M'O se segmenterait en deux anneaux séparés, compris, l'un entie la brandie UU' et l'anneau réel, qui aurait remplacé le point double, l'autre compiis entre ce même anneau réel i-t la brandie W; en second lieu, les aires enveloppées par les deux an- neaux de la conjuguée cesseraient d'êtie égales; mais, en troisième lieu, la quadratrice de la courbe ne com- portant (jut; deux périodes elliptiques, la dillérence des deux aires en question, lorsqu'elle réexisterait, ne pour- rait èlre que l'aire correspondant à l'une des trois pé- riodes ('ycliques.

La réapparition du point double, non accompagnée de l'annulation des trois [)ériodes cycliques, aurait alors pour elicls, d'abord, de réduire à néant la période ellip- tique rédli'; en second lien, de léduire à une seule ap- parence les deux figur(;s de la période ultracydique imaginaire-, en troisième lieu, de supprimei', [)ar sous- traction, la partie commun*', e]Iipti(pu', di's deux repré-

( M ;^ )

scnlations ck; la péiiodc iillra(V(li(|iu' imaginaire; enfui fie ne laisser subsister, à la [)la(e des deux figures de la période ultra cyclique imaginaire, (ju'une forme acces- soire de l'une des périodes cycliques.

Sur

LA RECTIFICATION DES COUIllîES PLAKES.

Les intégrales rectificatrices de l'enveloppe réelle et de l'enveloppe imaginaire réalisée d'un même lieu oui les mômes périodes, au facteur \^/ — i près.

La période réelle de la reclificatrice d'une hyperbole est la différence entre la longueur totale de cette hyper- bole et la longueur totale de ses asymptotes (les extré- mités ayant mêmes abscisses): la période imaginaire de la même rectifîcatrice est le produit par y^ — i de la différence entre la longueur totale de l'hyperbole sup- plémentaire et la longueur totale des asymptotes com- munes.

Ces deux derniers théorèmes s'étendent aux courbes de tous les ordres, en y considérant les différents cycles fermés, composés de branches convenablement groupées des deux enveloppes et de leurs asymptotes communes.

Les démonstrations de ces théorèmes se trouvent dans le Tome II de ma Théorie des fonctions de ^variables imaginaires ; elles n'ont pas été données aux Confé- rences.

27. Précis d'une tliéorie rationnelle des fondions ciiculiùres directes et inverses. — Si l'on pose

> sera par définition le sinus de S et S l'arc dont le sinus M. 8

( 'M )

est j'^ X = y 1 — 7 " sera le cosinus de S et S Tare dont le cosinus est x ^ \A — j'^'-~ ^'^^^ ^^ tangente de S,

- en sera la cotanîrente, On aura évidemment

sin^S -+- cos-S = I .

la sécante et — la cosecante.

y

sin S

taiiirS =

cosS

X et r étant les coordonnées d'un point quelconque du cercle x--\-y- = i ou de l'une de ses conjuguées, il sera toujours facile, par la théorie des aires, de savoir ce que sera S, quand même x et y seraient imaginaires.

Supposons d'abord 7 réel et moindre que i , .r sera

Fig. 24.

1 °	/ 1 j:
\	A

aussi réel et moindre que i ; le point [x, } ] a[)partien- (Ira au cercle : soit AI ce point.

•' (r— J--i-j2) (ly

= [— jV 1 — 7^ ]o -^ '^ / ({y / 1 —y-

• 0

= 2 aire OAMP — 2 aire OPM

= 2 aire secteur AOM + 2A"7ï= S.

Si y est imaginaire sans partie réelle, x sera réel et

( 'iS ) j)Ius i^raiid cjuc i , le |)(»iiil [ ./•, r ] .ipparliciidra à la con- juguée à abscisses réelles tlu cerelc! : soil M ce point,

' I ^h^ V^' — y' ^^'-'•^ imaginaire sans partie réelle, et

• u

représentera li- produit par \j — i de l'aiie OA.MP^ d'un autre côté, — y \j \ — y- représentera le doul)]e i\\\ pro- duit par \J — I de l'aire du triangle O.MP; [)ar consé- quent / • ou S représentera le double du prodnil

par y/ — 1 de l'aire du secteur AOM, et l'on [)ourra y

Fis. 25.

ajouter un nombre entier de fois 3-, parce que, avant de faire parcourir l'arc AM au point [x, r], on pourra lui faire parcourir, autant de fois que l'on voudra, la cir- conférence ABCDA, dans un sens ou dans l'autre. Si j' et X ont respectivement pour valeurs a' -h '?j\ — i

et a -h ,3 \J — I, le point [x, j ] appartiendra à la conju-

3' guée C= "o" ^^^ cercle : soit M ce point, a et a' seront

les coordonnées du point N milieu de la corde réelle MJNM' de la conjuguée, c'est-rà-dire OQ et QjN , |3 sera égal ta — JNR et '^j' à -\- RM, de sorte (jue x et j auront respectivement pour valeurs

X = OQ — \R s/^. j = QN + RAI /^ ;

( iiG )

mais la figure donne les analogies

QN _ ON BT ~ ÔB

RM _ MN ÔT ~ ÔB

c est-à-dire

et d'où

QN = sin(2AOB)cos(2BOM ^^)

RM v/^T = cos ( 2 AOB ) sin ( a BOM ^^)

y= sin(2AOB)cos(2BOM \/^) -t- cos(2A0B)sin(2B0M \/^);

Fig. 26.

d'un autre côté, si l'on cherchait la valeur de / '

J v^—y-

on trouverait

S = 2 ( AOB -+- BOM /^^) + 2 A - ;

on en conclut

y = sin S = sin (2 AOB -f- 2 BOM /^T*

= sin(2A0B)cos(2B0I\1 v/^) + cos(2 AOB) sin (2 BOM \/^^i) ;

on trouverait de même

^ = cosS= cos(2A0B + 2B0Mv/^) = cos (2 AOB ) cos ( 2 BOM /— I) — sin ( 2 AOB ) sin ('s BOM y/^).

		( >•: )
La f'orniul	le
donne		^S i
d'où	dy ^/x-r^

I

cosS

% =D(sinS) = cosS;

d'un autre coté,

r/S rfS dy i i i — i i i

dx dy dx cosS dx cosS y y siiiS

dy v/^^Tr"

d'où

— - = D(cosS) = — sin S. do

Il en résulte par la formule de Maclauriu

S3

sin S = S — cosS =1 I

1.2.3 I .2

quel que soit S.

28. Précis d' une théorie rationnelle des fonctions exponentielle et logarithmique. — Si l'on pose

dx

I

S sera l'aire de l'hyperbole équilatère j =: -, comptée

du sommet A jusqu'à un point quelconque d'une con- |ugaée quelconque et s'appellera le logariiliine de x.

Si ^(x) désigne une fonction de x assujettie seule- ment à prendre la valeur i pour a: = i , on aura identi- quement

Ç'' dx^ , r'' o'{x)dx __ r""' '^{x)dx^x<z>'{x)dx _ r^'d{xo{x)\ i ^ ^ .\ '^i.^) ~.' xo{x) "",/ X o{x)

l-à-di

c csl-a-dire

( 'i8 )

L(T) -^ L['^(.r)] = L[xo{x}\.

C2(xj pouvant prendre une vaJeur quelconque lorsque x n'est pas égal à i . On en conclut

h(ab}= L{a) -^L(b},

l(^J=L(«>-L(6),

L{a"')= /«La,

Le demi-axe OA de lliyperbole est ^2: par conséquent.

l'aire de la conjuguée circulaire est 2- et la période de l'intégrale / -^ est 2- y/ — 1 , c'est-à-dire que

/ — = / - — = airea AM/?? -f- ,i/.- 1/ — 1 ./i '^ -'a ■'■

Si iM' désigne le point de l'hyperbole dianiétialement opposé à M,

r dr I (l.r I (Ix

( "9 )

M

par conséquent,

Si M, désigne le point de l'iiypeiljole snpplénientairi; syniétri(]U(; Je M par rapport à l'axe des j ,

dx I (IX I ar

r"' dx _ r ' dx ^ r r ' dx T. , —

en cllet, l<)rs(jue li' point mobile

(.r = a -i- 3 y/^^ . y = 'x' -^ ^' \l — i )

parcourt la conjuguée (^ du li(Mi xj =r i . ^ conserve la valeur C; mais

de sorte que

:y-

a2 + 32 et que, par conséquent.

conserve une \aleur constante C, ou (jue 7. Jx -h ^ </Jj

leslc constaniiiu'til nul. 11 en résulte que

= ^C f(y. d-x + 3 f/^ ) — C v'^ /^( 3 f/a ■+- a i/^)

reste imaginaire sans partie réelle. Or la partie iniagi-

— est — -y/ — I, car, rordonnéey du point

M, de l'enveloppe imaginaire des conjuguées du lieu

étant imaginaire sans partie réelle, l'expression ^ de

l'aire du triangle à introduire à la limite M,, pour rap- porter le lieu au même axe des x et à une parallèle aux cordes réelles de la conjuguée MM,, serait réelle. Il en résulte

d

et, de la même manière •^-' d.r

I

= L(^)^(2/.---J)7r

Comme S croit en progression arithmétique, lorsque X croît en progression géométrique et (jue, d'ailleurs,

'-J- = - part de la valeur i , lorsque a: = i et S = o, il dx X '

en résulte que les deux progressions sont, pour x,

1 : ( I -t- X ) : ( t -H a )- : ... : ( t -f- a )'' et pour S,

a pou\ant être réel ou imaginaire.

( I 9. I

Si I On vcul (Khciinirur la base du syslèinc, il (aul supposer y. réel cl premlro iiv.^ i, d'où /?= - el la

base est

t

(i-t- a)« = (i -i- 2)'^= (?.

Les logarillimes dont il s'agil dans ce (jiii précède sont donc les logarillimes népériens; et. en conséquence, on peut poser

pourvu quil soit entendu que les exposants S se com- porteront, dans toutes les opéiations, comme s'ils étaient réels.

L'équation

f

'■ d.r

donne d'où

dS dx

dx ,

r/S

toutes les dérivées de a: par rapport à S se réduisent donc à e^, et ont la valeur i , pour S = o; il en résulte, par la formule de Maclaurin,

c.s=,^S

Kema/(fue. — 11 n'est pas étonnant que les fonctions circulaires, directes et inverses, se ramènent aux fonc- tions exponentielles et logarithmicjues, puisque les unes ont leur origine dans la quadratrice du cercle et de ses conjuguées, cjui sont des hyperboles écjuilatères, et les autres dans la quadratrice de l'hyperbole équilatère et de ses conjuguées, dont l'une est un cercle.

( £22

SUR LES FONCTIOJNS ELLIPTIQUES.

Le second Volume de ma Théorie des fonctions de variables imaginaires conlienl la théorie élémentaire des fonctions elliptiques, établie d'après les mêmes prin- cipes que les deux précédentes.

( Ï23 )

Gi:OMETRIE DANS L'ESI'ACK

Le temps n'a permis de irailer (jue bien imparfaite- ment les questions, analogues aux précédentes, que comporte la Géométrie à trois dimensions.

Nous ne ferons guère non plus, ici, qu'indiquer les solutions.

On trouvera les explications complémentaires qui seraient jugées utiles dans les di-ux premiers \ olumes de la Théorie des fonctions de variables imaginaires ; mais le lecteur pourrait toujours v suppléer aisément.

1 . J'appelle conjuguées d'une surface représentée par une équation

/{x,r,z)= o les lieux des points

correspondant à toutes les solutions

.r =: a -^ p v/^ - y = a' -i- p' y/^ . .' = 2" -^ P" >/~

de l'équation proposée, où les parties imaginaires 3, [j' et 3" seraient comme des constantes

	C.	C	.■l C",
«■'cst-à-dire	telles que
		.3' C	" G''

( IM )

2. La situation dans l'espace du point [x,, y,, ",], qui représente une solution imaginaire, reste la même quelle que soit la transformation de coordonnées qu'on fasse subir au lieu considéré et, par suite, à la solution représentée.

En effet, si les formules de transformation, résolues par rapport aux nouvelles coordonnées, sont

x' = a -h mx -+- ny -i-pz, jk' = «'-f- m' r -+- n' y -^-p' z.

.z' = a" -h m" X -)-- n" y -h p"z,

les valeurs des noiavelles coordonnées x', 7 , z' (jui cor- respondent à

.r = a -h p / — I , j)/- = a' -I- 3' \/ — i . z = y." ^ j3" y/ — i

sont

x' — a -r- lU'x -r- n % — i> y" -+-()n'^ — n^' -^ p'^" ) y — 1 , y' = a' -^ m' y. -\- n' a -!- />' a" -1- ( m' (j -t- n' p' M- p p" ) sj — 1 . z' = a" -+- m" y -^ n" y -\- p" -j." -^ ( m" p -1- /?" p' -f- p" p" j / — 1 ,

de sorte que les coordonnées x, , j, , z, du point repré- sentatif de la première solution étant

et les coordonnées x, , j , , c, du point représentatif de la seconde solution étant

a7'i = a + /» (a + P)-i- « (oe'-l- '^') + p (a"-l- P"), y'^ = a' -h m' (a -i- ^)-h n' (a -\- ^')-l- p' (y"-h P"), z\ = a" -+- m"{ a -f- p ) -t- n"{ a' + p' ) -i- />"( a" -t- p" ) ou

x\ = a -h mxi -f- «jKi -\- pZ],

y\ ^ a -^ w'.r, -r «V, -f-/?'^,.

;', = rt"-H m" Xi -+- /i" n -;- /l"-l,

( iy.5 ) il est clair (|uc les deux points (x, , j , , c, ) cl (x, , j ', , 5,) coïncident, puisque leurs coordonnées sont reliées entre elles par les formules de la transformation eOectuée.

Le mode de construction adopté, pour obtenir les coordonnées du point représentatif d'une solution, est d'ailleurs le seul qui assure la fixité dans l'espace de ce point, puisque, par exemple, pour assurer la fixité du point dans l'espace, il faudrait, au moins, assurer celle de sa projection sur le plan des xy ^ si l'on ne faisait changer que les directions des axes des x et des j , dans l'ancien plan des xy et que, pour cela, il faudrait, d'après ce qu'on a vu en Géométrie [)lane, représenter la solution

?v-

par le point

J-, = a —

\\. Une droite réelle

y _ d _ Z—d"

n'est capable que de solutions du système [C, C, O'] ; de sorte que la conjuguée [C, C, C"] d'un lieu fix, jk, c:) = o est le lieu des intersections idéales, réalisées, de ce lieu et de la suite des droites représentées par les équations

'■ d y d Z — d" .7 7/ ;// • -11

— r; — = - — -, — := — 7jr~ ■• ou « , a et a seraient variables

C C <;

n volonté.

Ces droites sont les cordes réelles de la conjuguée, elles joignent deux à deux ses points imaginaires conju- gués.

4. En rendant l'un des axes de coordonnées parallèle aux cordes réelles d'une conjuguée, on rendrait en

( I'^« )

même temps réelles les deux autres coordonnées de tous ses points.

5. Il en résulte que, par un choix convenable d'axes, on peut toujours ramener l'ordonnée z, par exemple, d'une conjuguée à être une fonction de deux autres va- riables x et )', réelles.

6. Les conjuguées d une surface réelle lui sont géné- ralement inscrites ou circonscrites et la courbe de con- tact, pour chacune d'elles, est la courbe de contact avec la môme surface réelle du cylindre qui lui serait cir- conscrit parallèlement aux cordes réelles de la conju- guée en question. Une surface réelle est donc l'enve- loppe de ses conjuguées.

Les conjuguées d'un cône réel sont les cônes, de même sommet, ayant pour directrices, dans un plan quelconque, les conjuguées de la secliou du cône par ce plan.

Les conjuguées d'un cylindre réel sont les cylindres ayant pour directrices, dans un plan quelconque, les conjuguées de la section du cylindre par ce plan et leurs génératrices parallèles à celhîs du cylindre proposé.

7. Les conjuguées des surfaces du second degré sont autres suri tous les cas.

d'autres surfaces du second degré, aisées à définir dans

8. Les conjuguées d'un litîu /{\,\ ,Z)= o ont géné- lalement une seconde enveloppe imaginaire, lieu des points du lieu où les rapports deux à deux des trois dé- livées partielles /,.■,][■, fl sont réels.

En elïet, les éléments du lieu /"(X,Y,Z)^ o aux en- virons d'un de ses points (x, ^,r) sont définis par

( '27 ) l'cqualioii

ou

dz^-if, dx - fy, dy, fz Jz -^

c'est-à-dire

dz ={m -h n\l — I ) dx -^\p ^ q \J — ^) df ■,

SI ni -\- n \J — 1 et /? H- y sj — i sont respectivement les ileurs de — Si Ton fait

valeurs de — ^ q.\. —,■> au point (jr,j} , s).

dx — doL -\- d'^ v/" ' ' dy = dy.' -~ r/^' s/ — i , dz = r/a"-t-^/3" /— n

l'équation précédente donne

r/a" = m dt — Il c/3 -f- j) (h! — a d'^' et

d'i" = m f/3 -f- Il d% -\- p f/|î'-+- q dy! ; d'où

d'x' -i- ^^" = ( ni ^ n) d% -^{ni — n) d3

+ (/>+ q) doi! ^{p — q) dV,

c'est-à-dire

{ m -^ II) dy. -^ i m — n ) f/3 ,

'''- = ^^-^7p ^'"'

{ p^q)dy'^(p — q)d'^'

- rfa'-./3' '<"

ou encore

d'^ . ^ ^?'

./:, = .— ^ ^^p d.r, 4- -^^, dy, .

dy. dy.

Pour que le point [î'-J . "] n|q)arlîiU à l'enveloppe des

( '28 )

conjuguées, il laudrait que tous ics éléineiiLs fussent compris dans un même plan, qui serait le plan langent à l'enveloppe au point [x, j).,z]; pour cela, il faudrait que <7z, ne dépendit que de dx^ et de dyf^ et, par con- séquent, fut indépendant de -y- et de -^, • Cela exigerait les deux conditions

/n -+- n 171 — n p -\- (i p — c/

c'est-à-dire n = o et ij = o.

Ainsi, tout point de l'une ou l'autre enveloppe est nécessairement tel qu'en ce point

^L^ et -^^

soient réels.

Mais chaque conjuguée ne touche l'enveloppe imagi- naire qu'en quelques points et non plus suivant une courbe. En eilet, les solutions des trois équations

f(x,y,z)=o, ^ = réel, ^ = réel,

où l'on ferait .r = a -H |jC \ — i , y ^= a'-i- ,3C' \/ — i . z = 7.'-;- ^C" y ■ — 1 , seraient déterminées, puisque a, a, y." et |j seraient liés entre eux par quatre conditions.

Exemples. — L'enveloppe imaginaire des conjuguées ellipsoïdales d un hyperboloïde à une nappe

^- z: _ ^" _ ^2 "^ 1^ ^ ^ " '

est riiypcrboloïde à deux nappes supplémentaires

(i^ i- c-

( '^9 ) lc(jii(l c'sL loiiiiii par les solutions do la fornic

(le 1 ('(luaLioii — - -T- -,- ,- = I.

J a- b- c-

L'ciivcloppe imai^iiiairc des coiijuyuccs diflicu

(.r — a — b \J — I )' "•" ( '' — "' — ^' / — ')'

+ (z - a - b'' v/ITT)-^ = ( ,. + ,.' ^—^Y est la sphère

{x — a — by--i-(f — a — // f--i-( z — a" — b"Y = {r ^ r'y^.

9. Les conjuguées du lieu

( M -H N \/^') ^ -- ( P — Q \/^) y

— ( l\ -^ S y/^) ^ ^- D -^ E /^ = o.

sont tous les plans (|ui passent par la di'oite représentée par les équations

Mx^Vy-^ Rz.-hD = o et Nx -^ Oy -^ bz -h E = o.

10. Un plan réel ne'peut eouper ([ue les conpiguécs dont les cordes réelles lui sont [)ajallèles.

11. La section coniplètc d'un lieu /(.r,j , ")= o par un plan réel se compose de la section, par ce plan, de la surface réelle et des sections elïectives, par ce même plan, de toutes les conju jouées du lieu dont les cordes réelles lui sont parallèles.

Les sections par le plan considéré des conjuguées du lieu qu'il peut couper sont, dans ce plan, les conjuguées de la section de la surface réelle, si elle est eirectivement coupée; et la section de la surface réelle est l'enveloppe réelle des sections des conjuguées que le plan coupe.

Ces d(îruières sections ont le plus souvent une autre enveloppe, imaginaire: mais cette seconde enveloppe M. <j

( »3o ) n'esl gciiéraleiueiiL pas la section par le plan coiisidc'ré de l'enveloppe imaginaire des conjuguées du lieu pro- posé.

Ainsi, par exenipie, l'enveloppe imaginaire des con- juguées du lieu

a- b- c'- est rellijisoïde

x^ ^' . i! _

a- b- c- ' repiésenté par les solutions de la foi'ine

de ré(juation-, mais, si l'on coupe le lieu par un plan s = //, les conjuguées de la section ont pour enveloppe imaginaire rellipse

ips

x^ y2 h-

a- b c-

Cjui n'appartient pas à la surface enveloppe imaginaire des conjuguées du lien.

Cela tient à ce que celles des cordes réelles de la sur- face enveloppe imaginaire des conjuguées du lieu, qui seraient parallèles au plan sécant, ne seront générale- ment pas dans ce plan, ou ne s'y trouveront qu'eu nombre limité.

Ainsi, dans l'exemple, les cordes réelles de la surface enveloppe imaginaire, (jui seraient parallèles au plan z=:h, seraient comprises dans le plan r: = o, deux points imaginaires conjugués de la surface enveloppe imaginaire étant les extiémités d'un même diamètre de la surface.

En un point .!■ = [j\/ — i ^ j= [i' \J — 1 , s =: A de

( >:^' )

IcuM'loppc iiungiiiaiic des conjuguées de la secliou

T- y- h-

— -^ 7-, =— ' ^'

a- h- c-

'-p est bien réel, mais ni -^f ni ^ ne le sont : en clFet,

J y Jz Jz

f'x	a-
fy ~	3'v/~i
e-l bien réel, mais
?/-!		pV-.
f'x «■-	" « =	A-i
f'z /'	A

iie le sont pas.

J2. Lorsqu'un plan sécant réel donne, dans la surface réelle, une section comprenant, entre autres brandies, un anneau fermé, si le plan se déplace parallèlement à lui-même, cet anneau se réduit à un point au moment où le plan devient tangent à la nappe fermée de la sur- face réelle, et est ensuite remplacé par un anneau d'en- veloppe imaginaire des conjuguées de la section.

13. Le plan tangent à une conjuguée (C,C',C") d'un lieu y (X, Y, Z) = o eu un point (x, >■, z) de cette con- juguée est la conjuguée (C, C, il!' ) de l'onglet de plans

1 i. Si le premier membre de léquatiou d'un lieu est décomposé en gi"oupes de termes liomogènes et repré- senté par

o(X, Y, Z:) + 6(X, V.Z)-^7(\. Y, Z)^ ....

( '3>^ ) l'cquaLiou géiiéiale des plans asyniplotes à la suiTaciî réelle et à ses coniuguées est

cp'jjX -f- op Y -I- o' Z ^ <l{ a, p, Y ) = o,

a, [5, Y formant une solution réelle ou imaginaire de ré([uation

?(3;, 13, y) = o.

Les coniuguées des cônes asymptotes des surfaces du second degré sont les cônes asymptotes des conjuguées de ces surfaces.

15. Le contour apparent d'une surface/(X,Y, Z) = o, par rapport au plan des xj et parallèlement à l'axe; des z, a pour équations

f{x,y,z)=:o Cl fl{.T, y, z) = o,

qui, par l'c-limination de z, fourniraient l'équation

F(X,Y) = o

du contour apparent proprement dit.

Le lieu F(X, ^ ) ^ o, construit dans le plan des [X, Y], se composera en général d'une courbe réelle et de toutes ses conjuguées. La courbe réelle formera le contour apparent proprement dit de la surface réelle représentée par l'équation ^^(X, Y, Z) = o^ mais les conjuguées de celte courbe F(X, \ ) = o ne seront pas les contours apparents des conjuguées de la surface y(X, Y,Z) = o, parce que dans les solutions correspon- dantes des équations

f(.T,y,z) = o Cl fL{x,y,z) = o,

( 'S:-; )

le rapport ^ des parties imaginaires de .r vX de j sera r

S" 3" hieii c^onstanl, mais non pas les rapjioits ^ et ^ (').

P f^

JO. Toutes celles des conjuguées d'une même surface (|ui la touchent en un même point (ce sont celles dont les cordes réelles sont parallèles au plan tangent en ce j)oint) V ont pour indicatrices les conjuguées de l'iudi- calrice de la surface réelle au même point.

Les autres questions relatives à la courbure des sur- laces imaginaires se résolvent par les mômes méthodes (|ue l'on emploie pour les surfaces réelles.

17. De la cuhatwe des surfaces, et des périodes des intégrales doubles. — On trouvera, dans le second ^ olume de la Théorie des fonctions de variables ima- ginaires, tous les théorèmes préliminaires qui permet- tent d'établir l'écjuivalence des chemins qui peuvent se substituer les uns aux autres sans que la valeur de l'in- tégrale double soit altérée.

Ces propositions ne présentent d'autre intérêt que celui de rendre possible la démonstration a priori d'un

(' ) Si l'on coupait un lieu /( X. Y, Z) = o par une série de plans réels, parallèles enlre eux et à l'axe des z, les points critiques de chaque section seraient les points d'intersection, par les plans consi- dérés, du contour apparent de la surface /(X, Y, Z) = o, par rapport au plan des [X,Y]; et pour instituer, relativement aux inté^rrales doubles, une méthode analogue à celle que Cauchy a fondée pour les intégrales simples, il faudrait faire jouer au contour apparent de la surface à cuber le même rôle factice que Cauchy avait attribué aux contours apparents, par rapport à l'axe des^, des courbes à quarrer.

J'ai réalisé celte idée en 1872, dans un Mémoire qui a paru, vers 18-4, dans le XLIV= Cahier du Journal de l'École Polytechnique et que l'on trouvera dans le troisième ^'olume de ma Théorie des fonc- tions de variables imaginaires.

( '34 )

fait que l'on peut regarder coninic évident : e'est qu'une intégrale double est déternainée, à des constantes près, par ses limites, tandis qu'elle serait complètement indé- terminée si elle variait d une manière continue avec le chemin superliciel suivi pour rejoindre les limites.

Nous omettons ici ces théorèmes et nous réduisons toute la théorie à sa plus simple expression.

La quadratrice de la section d'un lieuy'(X, \ , Z) = o par un plan réel admet : i", comme périodes réelles, w, co', co", ... les aires des anneaux fermés de la section de la surface réelle, lorsqu'elle existe et qu'elle est effecti- vement coupée par le plan réel considéré; 2", comme périodes imaginaires. oJ|\ — 1, w'^ y — 1, (o'j y — i les produits par y — i des aires des anneaux fermés des sections faites dans les conjuguées du lieu dont les cordes réelles sont parallèles au plan sécant, mais les aires de tous ceux de ces anneaux fermés qui sont compris entre les deux mêmes branches de la section réelle sont égales ; 3°, comme périodes généralement mixtes, to^ H- Wg y^ — i , co'., -+- tOg y/ — I , . . . les valeurs de l'intégrale quadratrice, acquises dans le parcours des anneaux fermés de l'en- veloppe imaginaire des conjuguées de la section; 4" ^'i" iin, comme périodes cycliques, ~(1\' — J^T^d'y — i, 7:d"'\ — I , . . . les produits par y' — i des aires des par- ties elliptiques évanouissantes des conjuguées dont les cordes réelles sont parallèles aux asymptotes de la section.

18. Si l'on a coupé le lieu par une série de plans parallèles entre eux et distants l<;s uns des autres de la quantité dh et que ù soit l'une des périodes de la qua- dratrice de la section, Q.dJi sera un élément d'une des périodes de la cubatrice de la surface et, pour obtenir cette période, il laudra prendre l'intégrale fildh^ entre

( iS.') ) (k'iix valeurs de // pour lesquelles Q s'anuule, e'esl- ."i-dii e entre deux [)lans tangcMils au \\o\\f{\. Y, Z) = o.

19. Si la période considérée est l'aire d'un anneau fermé de la section réelle, elle engendrera un volume enveloppé par une nappe de la surface réelle, fermée dans tous les sens parallèles au plan sécant; et, si celle nappe se ferme encore dans un nouveau sens, non paral- lèle an plan sécant, la péi iode engendrée sera le volume enfermé par une nappe spliéroïdale de la surface réelle.

20. Si la période considérée est le pr'oduit par ^/ — i de l'aire d'un anneau fermé de conjuguée de la section et si cet anneau eiîgendre une nappe fermée de conju- guée de la surface proposées, la période engendrée sera le produit [)ar ^ — i du volume enfermé dans la nappe fermée de la conjuguée en question.

21. Toutes les conjuguées fermées d'une même sur- face, inscrites dans La même nappe de la surface réelle, enveloppent des volumes égaux. — En effet, compa- rons d'abord entre elles celles de ces conjuguées dont les cordes réelles sont parallèles à un même plan parallèle à l'axe des z : d'une part, les sections faites dans toutes ces conjuguées par un même plan quelconque, parallèle au plan considéré, auront toutes même aire et, d'autre part, ces sections s'évanouiront toutes dans les mêmes plans ; car les courbes de contact de toutes ces conjuguées avec la surface réelle ne seront autre cliose que les cour- bes de contact, avec cette même surface réelle, de tous les cylindres qui lui seraient inscrits parallèlement aux cordes réelles de toutes les conjuguées considérées, c'est- à-diie à toutes les droites parallèles à un même plan. Or, toutes ces courbes se couperont aux mêmes points de

( i36 ) la surface réelle, lesquels seront les points de contact avec cette surface réelle de ses plans tangents parallèles au plan considéré; de sorte que, déjà, toutes les conjuguées en question envelopperont des volumes égaux et, en par- ticulier, égaux au volume enveloppé par la conjuguée dont les cordes réelles seraient parallèles à l'axe des z.

Mais un plan parallèle à 1 axe des z pourra être dirigé parallèlement aux cordes réelles d'une conjuguée quel- conque, non coinprisi; parmi les précédentes, et le volume enveloppé par cette nouvelle conjuguée fermée sera encore égal au volume enfermé par la conjuguée dont les cordes réelles seraient parallèles à l'axe des z.

La démonstiation du théorème énoncé s'étend donc à toutes les conjuguées.

11 en résulte que le produit par y' — i du volume en- \cloppé pai' 1 une cpiclconque des conjuguées fermées d'uni; surface réelle y(x,j)^, s) = o, inscrites dans la même nappe réelle de cette surface, est l'une des pé- riodes de l'intégrale cubatrice de cette surface.

Ces propositions se trouvaient déjà dans mon Mémoire de i853 et Caucliy les énonce dans son llapport de i854 sur ce IMémoire.

22. Si la période considérée correspond au parcours d'un anneau fermé de l'enveloppe imaginaire des conju- guées de la section faite dans la surface par le plan réel qui se déplace parallèlement à lui-même, cette période s'annulera lorsque le plan sécant deviendra tangent soit à la surface réelle et à l'enveloppe imaginaire des conju- guées de cette surface, si elles coexistent, soit à celle qui subsistera seule. D'ailleurs l'intégrale J'O f///, évaluée entre deux valeurs de // pour- lesquelles le plan mobile deviendrait tangent, soit à la suiface réelle, soit à l'enve- loppe imaginaire d(; ses conjugnécs, f)urnira une pé-

( -37)

riodc, ycii(iial('iiiciil iiiKii^iiiaiiX', de rinléytale ciibaliict! du lieu considéré.

Ainsi, par cxeniple, si l'on rappoile un liypcrboloïde à deux nappes à trois d(; ses diauiètres conjugués, dont l'un, l'axe des z, soit le diainètn; iransverse, l'é(jiiation de la surface sera

.r2 y- z-

a- ' b'- c-

Si l'on coupe la surface par- un plan z^h^ compris cuire les plans taui^enls

:; = — c et 5 = -}- c'.

la section totale aura pour écpialiou

a - y 2 ]i 2

c/'- b- (■'- '

et cette équation représentera nue infinité d'hyperboles ayant pour enveloppe imaginaire une courbe qui, réa- lisée, sera l'ellipse

eiup,'

a'- b'- c'-

la période, réelle dans ce cas, de la quadratrice de la

section sera

i) = 7:rt'^^'sin(X0Y),

et la période de la eubatricedu lieu, engendrée par cette période superficielle, sera

I Tza' b' sin( xoy) dhs\n(Z, XOY),

^ -<■■

c'est-à-dire le volume de l'ellipsoïdi;

■^' y'' _i_ ^" _

a'- ' b'- ' c'-

- T.abc,

( i38 ) (i^h.c désignant les axes Je riivperl)oloïcle proposé;

ear tous les ellipsoïdes, tels (lue ^ H- Vi — h ^ = i , se-

^ ' ^ a - b- c-

ront équivalents, en volume, eomnie on le sait.

De sorte que, dans ce cas particulier, le fait, analogue à celui de l'équivalence en volunie des conjuguées fer- mées d'une même surface, inscrites dans une rnème nappe de cette surface, se présente de lui-même relati- vement aux lieux des envelojipes iuiaginaires des sections faites dans la surface par des plans parallèles de direc- tion arbitraire; dans le cas particulier qui vient d'être examiné, les nappes fermées, lieux de ces enveloppes, eutourent des volumes égaux.

Cette proposition pourrait être généralisée. Elle n'est pas indiquée dans ma Théorie des fonctions de variables imaginaires, où la questioji des intégrales doubles a été prise cl un tout autre point de vue.

23. Enfin, si la période considérée est une des périodes cycliques de la quadratrice de la section faite dans la surface par le plan mobile, c'est-à-dire le produit par y/ — I de l'aire d'une ellipse indéfiniment allongée dans un sens et indéfiniment aplatie dans l'autre, elle s'an- nulera dans deux plans, et l'intégrale correspondante

f-cl^dh

évaluée entre ces deux plans prendra une valeur numé- rique qui sera le produit par y/ — i du volume fini d'un ellipsoïde ayant un axe infini, un axe fini et un axe infiniment petit.

J'ai donné le nom i}c périodes sphériques à ce genre de périodes de l'intégrale cubatriee d'une surface.

Soit

ci(-r,^-, -) -^ 'if^, }', z) -+- y( T. y. c) -+-...= o

( ';'>9) l'é(|uaLiou do la suifac(î la plus gc-ncralc de degré ///, dé- composée en groupes de lei'incs liomogèiies, de sorte que C2, ^, y, ... soient des polynômes homogènes de degrés niy 11L — I , ni — 2 , . . . . Soient d'ailleurs

'^ _ y _ ^ â ^ '"p ^ 7

les équations dune direction asyniptoti([ue, de soite (jui;

9 (a, p, i) = o, et

or—Xo _ y — j-o _ £ a ~ ^ I

les équations d'une parallèle à cette direction : si l'on veut avoir les intersections de cette parallèle avec la surfac(;, on pourra remplacer dans l'équation proposé(;

X, y et z par

iTy-H ap, J'o-T- jBp et p,

ce qui donnera

p"'o(a, [B, i) H- p'"-i[(.r„o'^^-j^o?^i+ ^(^, ?» 0]

-1- 2a-o'l^'x+ ■^jo'^i?-!- 'i-yjy-. p. ')] -I-. . . = o;

mais le terme en o'" disparaitra de lui-même, 'f (y-, |Îj, i) étant nul par hypothèse.

Si l'on veut exprimer que la droite

■-y — ■'^o _ .r — J'o _ f

a ~ p ~ I est elle-même une asymptote, il faudra poser

^o?a + 7>J?p-^'M'=' ?' ') = (-^

ce qui donnera une relation entre les coordonnées a,), Vo de la trace sur le plan des xy d'une asyinptoti' parai-

( Mo )

lèle à la direclion - =: Vr = -> d où Ton voit que les

api i

asymptotes jîarallèles à une inèiiic direction asympto- tîque sont généralement dans un même plan.

Si l'on voulait déterminer les asymptotes, parallèles à la môme direction, qui rencontrent la surface en trois points situés à l'inlini, il faudrait poser la nouvelle con- dition

d'où l'on voit, comme cela avait été annoncé, que, parmi toutes les asymptotes parallèles à une même direction, il y en aura généralement deux, et deux seulement, qui rencontreront la surface en trois points situés à Tinfini, ou, ce qui revient au même, (|ue, si un plan quelconque se déplace parallèlement à lui-même, chacune des pé- riodes cycliques de la quadralrice de la section de la surface par ce plan mobile s'annulera deux fois et deux fois seulement.

jNous allons cliercher la nature et la valeur de la pé- riode engendrée dans l'intervalle compris entre deux pareils plans limites.

L'équation la ])lus générale d'une surface ayant des asymptotes parallèles à l'axe des z est

{ax-r- by -^ c)c'«-'

-i- ( dx-^xy ^ fy- -^ gx -^ h y -+- /,)z"'-- -4- . . . = o ;

si l'on voulait que l'axe des z fût lui-même une asym- ptote, il faudrait faire c = o; et, si l'on voulait encore que l'axe des :; fût une asv mptote d'inllexion d'une sec- tion plane quelconque de la surlace par un plan passant par l'axe des :::, il faudrait faire A = o. L'équation de la surface deviendrait alors

(ax-h ljy)z>"-'^

-h (dx--+- exy -r/>'--r- gx -T- /iy):"'---h . . . = o.

( '4. )

J^cs traces, sur le plan des ay , des asymptotes paral- lèles à l'ax'e des c seraient alors les divers points de la droite ax -{- /jy = o.

8i I on voulait que le lieu de ces traces fût l'axe des x, c'est -;i -dire que les asymptotes parallèles à l'axe des " lussent toutes contenues dans le plan des rx, il faudrait faire a ^ o.

Alors l'équalion de la surface, en divisant par ^, de- viendrait

y-m-i _(_ (3:^2_i_ ^xy -r- '(y- -}- ox -)- zy)z"^---T-. . . = o.

Si l'on coupait cette surface par un plan x = /, l'é- quation de la projection, en vraie grandeur, de la section sur le plan des^r, parallèlement aux x, serait

yz"'~i^['(y^^{pl-^i)y-r-y.r^-:i- o /] ^'«-2-^. . . = o ;

la période cyclique, relative à l'axe des z de la quadra- trice de celle courbe, est

±■2- \J — I >inj^^ (a/--r- o/),

qui s'annule pour /o = o, et /) = — -'

Pour obtenir le volume engendré par cette période cyclique, il faudrait calculer l'intégrale

±2 7:/— i.asin YZ / l^l — li)Kdl,

K désignant l'inverse du rapport d'une longueur, comptée sur l'axe des o:, à sa pro|ection sur une perpendiculaire au plan des j z.

Cette intégrale a pour valeur

ou

:■?.-/— i.xK sin YZ i% — ^-1\ ± s/~\. alv sin YZ t " (-Y;

( i42 ).

on voil que c'est le produit par \/ — i aK sinj)'3 du vo- lume d'une sphère.

Mais le volume cubé est en l'éalité celui d'un ellipsoïde dont l'un des diamètres, parallèle à l'axe des x^ serait /, , et dont les deux autres, situés dans le plan

h

37 = —

auraient, l'un, une valeur nulle, et l'autre, une valeur infinie, de telle sorte, cependant, que le rectangle de

ces deux diamètres fût —' •

4

On peut, au reste, très aisément, obtenir l'équation môme de cet ellipsoïde, en étendant aux surfaces algé- briques le théorème qui nous a servi à fonder la théorie des périodes cycliques des quadratrices des courbes algé- briques, c'est-à-dire cette proposition que, dans le voi- sinage de l'une de ses asymptotes, non inllexionnelle, une courbe de degré quelconque tend toujours à se confondre avec une hyperbole du second degré.

Pour les surfaces algébriques, le théorème s'énoncera ainsi :

La îiappe d'une surface algchrique de def^i'é quel- conque qui se rapproche indéfiniment du plan lieu d'une série d'asjj7iptotes parallèles et non injlexionnelles de la surface, cette nappe tend à se confondre avec un liyperholoïde du second degré ; et celle des conjuguées de la surface, dont les cordes réelles sont parallèles aux mêmes asymptotes, comprend, outre d'aut/es nappes, une nappe fermée séparée des autres et qui tend à se confondre avec un ellipsoïde indéfiniment aplati et indéfiniment allongé le long du plan lieu des asymptotes considérées, c est-à-dire un ellipsoïde dont le diamètre, conjugué du plan considéré, tend vers

zéro, et doni les deux aulrcs didinèlres, conleniis dans ce incnie plan, sont l'un fini et l' autre infini, ce dernier (/ya/it (V ail leurs la direction des asymptotes en f/ucs- tio/i.

En odot, rcpicnoiis l'cqualion de la surface sous la loriue déjà employée

j~m~\^ (aa^-H- ^.ry -t- '[y--^ rjx -i- zy ) z"'-- -\- . . . = o,

c'est-à-dire supposons qu'on ait fait le choix d'axes dé- liiii précédemment (la direction de l'axe des y est restée quelconque, mais c'est indillérent, puisqu'on cherche ce que devient la surface dans la direction de j = o). Si l'on coupe cette surface par un plan .r = /, l'équation de la projection de la section sur le plan des r^ est

dans cette équation, le produit de j' devenu nul par z devenu infini tend vers — (a/'--|- o/)-, par conséquent les équations de la section considérée tendent à se ré- duire à

yz -^ a /■- -I- 0 / = o avec x = t ;

léquation de la surface, dans les environs de son plan asymptote, j-^ = o, tend donc à se réduire à

yz -H 2 j"--T- o.r = o, OU

4^-

j^^^a x+-

qui représente un hvperboloïde à une nappe.

Parmi les ellipsoïdes conjugués de cet hyperboloïde, il y eu a un qui appartient à la surface proposée, comme étant une de ses conjuguées : c'est celui dont les cordes réelles ont une direction infiniment voisine de celle des asymptotes de la surface, contenues dans le